Inom matematiken är det n :te harmoniska talet summan av reciprokerna av de n första naturliga talen :
H n = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 n = ∑ k = 1 n 1 k . {\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.} Harmoniska tal är viktiga inom talteori och är nära relaterade till Riemanns zetafunktion och andra speciella funktioner .
Identiteter för harmoniska tal Direkt av harmoniska talens definition följer differensekvationen
H n = H n − 1 + 1 n . {\displaystyle H_{n}=H_{n-1}+{\frac {1}{n}}.} Summan av de n första harmoniska talen ges av
∑ k = 1 n H k = ( n + 1 ) H n − n . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}=(n+1)H_{n}-n.} Harmoniska talen är relaterade till Stirlingtalen av andra ordningen enligt formeln
H n = 1 n ! [ n + 1 2 ] . {\displaystyle H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{n+1 \atop 2}\right].} Beräkning En integralrepresentation av Euler är
H n = ∫ 0 1 1 − x n 1 − x d x . {\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx.} Representationen ovan kan bevisas genom att använda identiteten
1 − x n 1 − x = 1 + x + ⋯ + x n − 1 . {\displaystyle {\frac {1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\cdots +x^{n-1}.} och integrera termvis.
Genom variabelbytet x = 1−u kan man få ett elegant kombinatoriskt uttryck för Hn :
H n = ∫ 0 1 1 − x n 1 − x d x = − ∫ 1 0 1 − ( 1 − u ) n u d u = ∫ 0 1 1 − ( 1 − u ) n u d u = ∫ 0 1 [ ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 ( n k ) u k − 1 ] d u = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 ( n k ) ∫ 0 1 u k − 1 d u = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 1 k ( n k ) . {\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx\\&=-\int _{1}^{0}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\&=\int _{0}^{1}\left[\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}u^{k-1}\right]\,du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}u^{k-1}\,du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}.\end{aligned}}} Samma representation kan fås genom attanvända den tredje av Retkes identiteter genom att låta x 1 = 1 , … , x n = n {\displaystyle x_{1}=1,\ldots ,x_{n}=n} Π k ( 1 , … , n ) = ( − 1 ) n − k ( k − 1 ) ! ( n − k ) ! {\displaystyle \Pi _{k}(1,\ldots ,n)=(-1)^{n-k}(k-1)!(n-k)!}
H n = H n , 1 = ∑ k = 1 n 1 k = ( − 1 ) n − 1 n ! ∑ k = 1 n 1 k 2 Π k ( 1 , … , n ) = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 1 k ( n k ) . {\displaystyle H_{n}=H_{n,1}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=(-1)^{n-1}n!\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}\Pi _{k}(1,\ldots ,n)}}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}.} Grafen visar sambandet mellan harmoniska talen och naturliga logaritmen. Det n te harmoniska talet växer ungefär lika snabbt som naturliga logaritmen ur n . Orsanken till detta är att
∫ 1 n 1 x d x {\displaystyle \int _{1}^{n}{1 \over x}\,dx} vars värde är ln(n ).
Värdena av följden H n n ) minskar monotont mot gränsvärdet
lim n → ∞ ( H n − ln n ) = γ , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(H_{n}-\ln n\right)=\gamma ,} där γ ≈ 0.5772156649 är Eulers konstant . Asymptotiska expansionen då n → ∞ är
H n ∼ ln n + γ + 1 2 n − ∑ k = 1 ∞ B 2 k 2 k n 2 k = ln n + γ + 1 2 n − 1 12 n 2 + 1 120 n 4 − ⋯ , {\displaystyle H_{n}\sim \ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\cdots ,} där B k {\displaystyle B_{k}} Bernoullitalen .
Harmoniska tal som en oändlig serie Det n -te harmoniska talet kan skrivas som en oändlig serie på följande vis:
1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + ⋯ + 1 n = ∑ r = 0 n − 1 1 n − r = 1 n ∑ r = 0 n − 1 n n − r = 1 n ∑ r = 0 n − 1 ∑ m = 0 ∞ r m n m = 1 n ∑ r = 0 n − 1 ( 1 + ∑ m = 1 ∞ r m n m ) = 1 + 1 n ∑ r = 1 n − 1 ∑ m = 1 ∞ r m n m = 1 + ( ∑ m = 1 ∞ 1 n m + 1 ( ∑ r = 1 n − 1 r m ) ) = 1 + 1 + 2 + ⋯ + n − 1 n 2 + 1 2 + 2 2 + ⋯ + ( n − 1 ) 2 n 3 + 1 3 + 2 3 + ⋯ + ( n − 1 ) 3 n 4 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}1\,+\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,+\,\cdots \,+\,{\frac {1}{n}}&=\sum _{r=0}^{n-1}{\frac {1}{n-r}}={\frac {1}{n}}\sum _{r=0}^{n-1}{\frac {n}{n-r}}={\frac {1}{n}}\sum _{r=0}^{n-1}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {r^{m}}{n^{m}}}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{r=0}^{n-1}\left(1+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {r^{m}}{n^{m}}}\right)\\&=1+{\frac {1}{n}}\sum _{r=1}^{n-1}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {r^{m}}{n^{m}}}\\&=1+\left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{m+1}}}\left(\sum _{r=1}^{n-1}r^{m}\right)\right)\\&=1+{\frac {1+2+\cdots +n-1}{n^{2}}}+{\frac {1^{2}+2^{2}+\cdots +(n-1)^{2}}{n^{3}}}+{\frac {1^{3}+2^{3}+\cdots +(n-1)^{3}}{n^{4}}}+\cdots \end{aligned}}} Förekomst Harmoniska talen förekommer ofta inom talteori och teorin av speciella funktioner såsom i följande formel för digammafunktionen :
ψ ( n ) = H n − 1 − γ . {\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma .} Denna relation används ofta som definitionen av harmoniska tal för icke-heltal used n . Harmoniska talen används också ofta till att definiera Eulers konstant γ genom gränsvärdet ovan även om
γ = lim n → ∞ ( H n − ln ( n + 1 2 ) ) {\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\left(H_{n}-\ln \left(n+{1 \over 2}\right)\right)}} konvergerar snabbare.
2002 bevisade Jeffrey Lagarias att Riemannhypotesen är ekvivalent med att
σ ( n ) ≤ H n + ln ( H n ) e H n , {\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{H_{n}},} gäller för varje heltal n ≥ 1 med strikt olikhet om n > 1, där σ(n ) är sigmafunktionen .
Egenvärdena av det icke-lokala problemet
λ ϕ ( x ) = ∫ − 1 1 ϕ ( x ) − ϕ ( y ) | x − y | d y {\displaystyle \lambda \phi (x)=\int _{-1}^{1}{\frac {\phi (x)-\phi (y)}{|x-y|}}dy} ges av λ = 2 H n {\displaystyle \lambda =2H_{n}} H 0 = 0. {\displaystyle H_{0}=0.}
Genererande funktioner Harmoniska talens genererande funktion är
∑ n = 1 ∞ z n H n = − ln ( 1 − z ) 1 − z , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n}={\frac {-\ln(1-z)}{1-z}},} En exponentiell genererande funktion ges av
∑ n = 1 ∞ z n n ! H n = − e z ∑ k = 1 ∞ 1 k ( − z ) k k ! = e z Ein ( z ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}H_{n}=-e^{z}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}{\frac {(-z)^{k}}{k!}}=e^{z}{\mbox{Ein}}(z)} där Ein(z ) är exponentiella integralen . Notera att
Ein ( z ) = E 1 ( z ) + γ + ln z = Γ ( 0 , z ) + γ + ln z {\displaystyle {\mbox{Ein}}(z)={\mbox{E}}_{1}(z)+\gamma +\ln z=\Gamma (0,z)+\gamma +\ln z\,} där Γ(0, z ) är ofullständiga gammafunktionen .
Generaliseringar Hyperharmoniska tal J. H. Conway och R. K. Guy har presenterat följande generalisering av harmoniska talen: låt
H n ( 0 ) = 1 n . {\displaystyle H_{n}^{(0)}={\frac {1}{n}}.} Då är det n te hyperhermoniska talet av ordning r (r>0 )
H n ( r ) = ∑ k = 1 n H k ( r − 1 ) . {\displaystyle H_{n}^{(r)}=\sum _{k=1}^{n}H_{k}^{(r-1)}.} Speciellt är H n = H n ( 1 ) {\displaystyle H_{n}=H_{n}^{(1)}}
Se även Källor Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia , Harmonic number , 19 december 2013 . Se även 