Hardy–Ramanujans sats

Inom matematiken är Hardy–Ramanujans sats, bevisad av Ramanujan och Hardy 1917, en sats som säger att den normala ordningen av antalet ω(n) av olika primtalsfaktorer av n är log(log(n)). En mer exakt form av satsen säger att för en godtycklig reellvärd funktion ψ(n) som närmar sig oändlighet då n närmar sig oändlighet är

${\displaystyle |\omega (n)-\log(\log(n))|<\psi (n){\sqrt {\log(\log(n))}}}$

eller mer traditionellt

${\displaystyle |\omega (n)-\log(\log(n))|<{(\log(\log(n)))}^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }}$

för nästan alla heltal.

Ett enkelt bevis av resultatet gavs av Pál Turán 1934, som bevisade att

${\displaystyle \sum _{n\leq x}|\omega (n)-\log \log n|^{2}\ll x\log \log x\ .}$

Samma resultat gäller för Ω(n), totala antalet primtalsfaktorer av n.

Se även

• Erdős–Kacs sats

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Hardy–Ramanujan theorem, 28 januari 2014.

Källor

• Hardy, G. H.; Ramanujan, S. (1917), ”The normal number of prime factors of a number n”, Quarterly Journal of Mathematics 48: 76–92, http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/CamUnivCpapers/Cpaper35/page1.htm 
• Kuo, Wentang; Liu, Yu-Ru (2008), ”The Erdős–Kac theorem and its generalizations”, i De Koninck, Jean-Marie; Granville, Andrew; Luca, Florian, Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13–17, 2006, CRM Proceedings and Lecture Notes, "46", Providence, RI: American Mathematical Society, s. 209–216, ISBN 978-0-8218-4406-9 
• Turán, Pál (1934), ”On a theorem of Hardy and Ramanujan”, Journal of the London Mathematical Society 9: 274–276, ISSN 0024-6107 
• Hildebrand, A. (2001), ”Hardy–Ramanujans sats”, i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104