Hahn-Banachs sats

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2022-09) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Inom funktionalanalys, en gren av matematiken, är Hahn-Banachs sats ett ofta använt resultat. Satsen är uppkallad efter Stefan Banach och Hans Hahn.

Formulering

Låt f vara en linjär funktional vars definitionsmängd är ett underrum M till ett komplext vektorrum X och låt p vara en semi-norm vars definitionsmängd är vektorrummet X. Om funktionalen är begränsad av semi-normen på underrummet,

${\displaystyle \vert f(x)\vert \leq p(x),\quad x\in M}$

så kan funktionalen utvidgas till en linjär funktional, F, vars definitionsmängd är X, och som är begränsad av semi-normen:

${\displaystyle \vert F(x)\vert \leq p(x),\quad x\in X\quad och\quad F(x)=f(x),\quad x\in M.}$

Beviset av Hahn-Banachs sats är icke-konstruktivt, då det utnyttjar Zorns lemma. Det går emellertid att undvika Zorns lemma för vissa typer av vektorrum, exempelvis då det är ett så kallat Hilbertrum; det är Riesz representationssats som åstadkommer detta. Enligt denna är varje begränsad linjär funktional på ett Hilbertrum detsamma som en inre produkt med avseende på ett till funktionalen associerat element i Hilbertrummet.

Se även

• Banach-Schauders sats (även kallad Satsen om öppna avbildningar)
• Banach-Steinhaus sats (även kallad Satsen om likformig begränsning)
• Svag konvergens
• Dualrum