Gungbrädemekanismen

Gungbrädemekanismen är en mekanism i teoretisk fysik. Den förekommer inom storförenad teori, särskilt i samband med neutrinors massor och neutrinooscillationer, där den kan användas för att förklara observerade neutrinomassors litenhet i förhållande till kvarkars och andra leptoners. Mekanismen är renormerbar fysik bortom SM, standardmodellen för partikelfysik. Den finns i ett par olika varianter. Den enklaste versionen, typ 1, kräver som enda ytterligare antaganden utöver standardmodellen: bara minst två högerhänta neutrinofält, och existensen av en mycket stor masskala i teorin, som exempelvis kan vara den storförenade skalan. Typ 1 gungbrädet levererar “en” lätt neutrino, som motsvarar de tre kända neutrinoaromerna plus en mycket tung, okänd “steril neutrino”, vilken eventuellt kan ha blivit detekterad.^[1]

Om neutrinon är en Majorana-partikel, så kan man anta att det, utöver de vänsterhänta neutrinor, ν, som kopplar till partikelpartnern i sin leptonfamilj och har massan m_ν, finns en högerhänt steril neutrinopartner N med massan m_N som är en svag isosinglett och inte kopplar direkt till någon fermion eller boson. Båda neutrinorna har massa och "häntheten" bevaras därför inte längre, (alltså "vänster- eller högerhänt neutrino" betyder att tillståndet är mest vänster- eller högerhänt).

Matematiken bakom gungbrädemekanismen av typ 1 ser då ut så här:

Diracs masstermer har formen ${\displaystyle -m_{D}({\bar {N}}\nu -{\bar {\nu }}N).}$

Majoranas masstermer har formen ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}m_{\nu }({\bar {\nu }}\nu ^{*}-{\bar {\nu }}^{*}\nu )-{\frac {1}{2}}m_{N}({\bar {N}}N^{*}-{\bar {N}}^{*}N).}$

Förhållandet mellan Diracs masstermer (m_D) och Majoranas masstermer ges av

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{m}=-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\bar {\nu }}&{\bar {N}}^{*}\end{pmatrix}}M{\begin{pmatrix}\nu ^{*}\\N\end{pmatrix}}+h.c.}$

där ${\displaystyle h.c.}$ är det hermiteska konjugatet av den föregående termen och ${\displaystyle M}$ är matrisen:

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}m_{\nu }&m_{D}\\m_{D}&m_{N}\end{pmatrix}}{\text{,}}}$

med ${\displaystyle m_{N}>>m_{D}>>m_{\nu }}$, och som har determinanten ${\displaystyle m_{\nu }m_{N}-m_{D}^{2}}$ och egenvärdena:

${\displaystyle \lambda _{\pm }={\frac {(m_{\nu }+m_{N})\pm {\sqrt {(m_{\nu }+m_{N})^{2}-4(m_{\nu }m_{N}-m_{D}^{2})}}}{2}}{\text{.}}}$

Om den "obetydliga" massan hos den normala neutrinon, ${\displaystyle m_{\nu }}$, ignoreras (d.v.s. sättes lika med noll) fås:

${\displaystyle M'={\begin{pmatrix}0&m_{D}\\m_{D}&m_{N}\end{pmatrix}}{\text{,}}}$

som har determinanten ${\displaystyle -m_{D}^{2}}$ och egenvärdena:

${\displaystyle \lambda _{\pm }={\frac {m_{N}\pm {\sqrt {m_{N}^{2}+4m_{D}^{2}}}}{2}}{\text{.}}}$

Varav följer att determinanten ${\displaystyle -m_{D}^{2}=\lambda _{+}\lambda _{-}}$ och att ${\displaystyle m_{D}}$ är det geometriska medelvärdet av ${\displaystyle \lambda _{+}}$ och ${\displaystyle -\lambda _{-}.}$

Eftersom ${\displaystyle m_{N}>>m_{D}}$ så är ${\displaystyle \lambda _{+}\approx m_{N}}$ och sålunda ${\displaystyle \lambda _{-}\approx -{\frac {m_{D}^{2}}{m_{N}}}.}$ Insättning av detta värde för ${\displaystyle \lambda _{-}}$ i egenvärdesekvationen för ${\displaystyle M}$, i vilken ${\displaystyle m_{\nu }\neq 0}$, ger att ${\displaystyle m_{\nu }\approx -{\frac {m_{D}^{2}}{m_{N}}}\approx \lambda _{-}.}$

Enligt storförenade (GUT) och vänster-höger modeller är den högerhänta neutrinon extremt tung, med en massa m_N ≈ 10⁵ — 10¹² GeV, medan den vänsterhänta neutrinomassan m_ν är i storleksordningen 1 eV (övre gränsen har satts till 140 - 380 meV av EXO-200 om neutrinon är en Majorana-partikel^[2][3]) - och ju större massan är hos den högerhänta neutrinon, desto mindre är massan hos normala vänsterhänta neutrinor - därav namnet gungbrädeseffekt.

Mekanismen används också för att förklara, varför massorna hos normala neutrinor är så obetydliga.^[4][5][6]

• Higgsmekanismen
• Ortogonalgrupp

• Detaljerat om Gungbrädemekanismen