Grassmannmått

Ett Grassmannmått är ett mått i linjär algebra, namngett efter den tyska matematikern Hermann Grassmann.

Formell definition

Låt ${\displaystyle 0<m<n\,}$ vara heltal och bilda Grassmannmångfalden ${\displaystyle G(n,m)\,}$. Definiera en funktion från ortogonalgruppen ${\displaystyle O(n)\,}$ till ${\displaystyle G(n,m)\,}$ på följande sätt:

${\displaystyle \Xi _{V}:O(n)\rightarrow G(n,m)\,}$, så att ${\displaystyle \Xi _{V}(g)=gV.\,}$

Grassmannmåttet ${\displaystyle \gamma _{n,m}\,}$ ett bildmått:

${\displaystyle \gamma _{n,m}:=\Xi _{V\#}\theta _{n},\,}$

dvs för ${\displaystyle A\subset G(m,n)\,}$

${\displaystyle \gamma _{n,m}(A)=\theta _{n}(\{g\in O(n):gV\in A\}).}$

Här är ${\displaystyle \theta _{n}\,}$ det vridningsinvariant måttet i ${\displaystyle O(n)\,}$.

Egenskaper

• Eftersom måttet ${\displaystyle \theta _{n}\,}$ är vridningsinvariant så är Grassmannmåttet också "vridningsinvariant":

${\displaystyle \gamma _{n,m}(gA)=\gamma _{n,m}(A),\,}$

för ${\displaystyle A\subset G(m,n)\,}$. Här

${\displaystyle gA:=\{gW:W\in A\}.\,}$

• Eftersom Grassmannmåttet är vridningsinvarianta beror det inte på vilket delrum V man väljer. Därför väljer man ofta delrummet ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{m}}$.

Favardmått

Man definierar det Favardmåttet med hjälp av Grassmannmåttet. För heltalen ${\displaystyle 0<m<n\,}$ är det m-dimensionella Favardmåttet med en parameter 1 ett Borelmått ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{1}^{m}:{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ^{n}\rightarrow [0,\infty ]}$, definierad som:

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{1}^{m}(A):=\int _{G(n,m)}\int _{V}{\mathcal {H}}^{0}(A\cap P_{V}^{-1}\{v\})\,d{\mathcal {H}}^{m}(v)\,d\gamma _{n,m}(V),}$

där

• integralen

${\displaystyle \int _{G(n,m)}d\gamma _{n,m}\,}$

är måttintegralen med avseende på måttet ${\displaystyle \gamma _{n,m},\,}$

• integralen

${\displaystyle \int _{V}d{\mathcal {H}}^{m}}$

är måttintegralen med avseende på det m-dimensionella Hausdorffmåttet ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}\,}$ över delrummet ${\displaystyle V\in G(n,m),\,}$

• måttet ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{0}}$ är det nolldimensionella Hausdorffmåttet dvs räknemåttet och

• mängden

${\displaystyle P_{V}^{-1}\{v\}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:P_{V}(x)=v\}\,}$

för ${\displaystyle v\in V\in G(m,n).\,}$

Se även

• Ortogonalgrupp
• Grassmannmångfald