Gelfond–Schneiders sats

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2022-09) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Gelfond–Schneiders sats eller Gelfonds sats inom matematiken säger att om α och β bägge är algebraiska tal (med α ≠ 0 och α ≠ 1) och β är irrationellt, är α^β transcendent. Detta bevisades 1934 av Alexander Gelfond och oberoende av honom av Theodor Schneider året därpå. Resultatet utgjorde en dellösning till det sjunde Hilbertproblemet.

Av satsen följer exempelvis att Gelfond–Schneiders konstant 2^√2 samt √2^√2 är transcendenta tal. Även Gelfonds konstant e^π är transcendent, eftersom detta tal är ett värde av det flertydiga uttrycket (−1)⁽⁻ⁱ⁾ där i betecknar den imaginära enheten (i är algebraiskt men inte rationellt). I det fall α^β är flertydigt gäller satsen för samtliga värden.

Ett angränsande resultat är Lindemann–Weierstrass sats av vilket bland annat följer att e och π är transcendenta. Både Gelfond–Schneiders och Lindemann–Weierstrass satser skulle följa som specialfall av Schanuels förmodan, som ännu inte bevisats.