Gödelsats

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2023-07) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

En gödelsats, efter Kurt Gödel, för ett formellt system ${\displaystyle T}$ är en sats ${\displaystyle \gamma }$ skapad med hjälp av fixpunktssatsen, sådan att

${\displaystyle T\vdash \gamma \leftrightarrow \lnot \exists yPrf(\gamma ,y)}$

Den informella betydelsen hos ${\displaystyle \gamma }$ är

Jag är sann om och endast om det inte finns något bevis för mig i ${\displaystyle T}$.

${\displaystyle \gamma }$ är mycket riktigt sann, och obevisbar i ${\displaystyle T}$ så snart ${\displaystyle T}$ uppfyller följande två egenskaper:

• ${\displaystyle T}$ är tillräckligt stark, dvs kan koda alla avgörbara talteoretiska relationer
• ${\displaystyle T}$ är ${\displaystyle \omega }$-konsistent.

Gödelsatsen är unik, i den meningen att den är bevisbart ekvivalent med konsistenspåståendet för ${\displaystyle T}$. Det är alltså just påståendet att ${\displaystyle T}$ är konsistent som är det sanna (om T är ${\displaystyle \omega }$-konsistent), obevisbara påstående som erhålls genom denna konstruktion.

Se även

• Gödels ofullständighetsteorem
• Rossersats
• Henkinsats