Fuss–Catalantal

Fuss–Catalantal är inom kombinatoriken tal på formen

${\displaystyle A_{m}(p,r)\equiv {\frac {r}{mp+r}}{\binom {mp+r}{m}}={\frac {r}{m!}}\prod _{i=1}^{m-1}(mp+r-i).}$

De är uppkallade efter N. I. Fuss och Eugène Charles Catalan.

Exempel

För delindex ${\displaystyle m\geq 0}$ ä talen:

${\displaystyle A_{m}(1,1)=1,1,1,1,1,\ldots }$

${\displaystyle A_{m}(1,2)=1,2,3,4,5,6,7\ldots }$

${\displaystyle A_{m}(2,1)=1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862\ldots }$  A000108

${\displaystyle A_{m}(2,3)=1,3,9,28,90,297,1001,3432,11934,41990,149226,\ldots }$  A000245

${\displaystyle A_{m}(2,4)=1,4,14,48,165,572,2002,7072,25194,90440,\ldots }$  A002057

${\displaystyle A_{m}(3,2)=1,2,7,30,143,728,3876,21318,120175,690690,\ldots }$  A006013

${\displaystyle A_{m}(3,3)=1,3,12,55,273,1428,7752,43263,246675,1430715,8414640,\ldots }$  A001764

${\displaystyle A_{m}(3,4)=1,4,18,88,455,2448,13566,76912,444015,2601300,\ldots }$  A006629

${\displaystyle A_{m}(4,2)=1,2,9,52,340,2394,17710,135720,1068012,\ldots }$  A069271

Algebra

${\displaystyle A_{m}(p,r)=A_{m}(p,r-1)+A_{m-1}(p,p+r-1)}$

börjar med ${\displaystyle A_{-1}(p,r)=0}$ och ${\displaystyle A_{m}(p,p)=A_{m+1}(p,1)}$

Se även

• Catalantal

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Fuss–Catalan number, 29 december 2013.

• Fuss, N. I. (1791). ”Solutio quaestionis, quot modis polygonum n laterum in polygona m laterum, per diagonales resolvi queat”. Nova Acta Academiae Sci. Petropolitanae 9: sid. 243–251. 
• Bisch, Dietmar; Jones, Vaughan (1997). ”Algebras associated to intermediate subfactors”. Invent. Mathem. 128 (1): sid. 89–157. doi:10.1007/s002220050137. 
• Przytycki, Jozef H.; Sikora, Adam S. (2000). ”Polygon dissections and Euler, Fuss, Kirkman , and Cayley Numbers”. J. Combinat. Theory A 92: sid. 68–76. doi:10.1006/jcta.1999.3042. 
• Aval, Jean-Christophe (2008). ”Multivariate Fuss-Catalan numbers”. Discr. Math. 20 (308): sid. 4660–4669. doi:10.1016/j.disc.2007.08.100. 
• Alexeev, N.; Götze, F; Tikhomirov, A. (2010). ”Asymptotic distribution of singular values of powers of random matrices”. Lith. Math. J. 50 (2): sid. 121–132. doi:10.1007/s10986-010-9074-4. 
• Mlotkowski, Wojciech (2010). ”Fuss-Catalan Numbers in noncommutative probability”. Docum. Mathm. 15: sid. 939–955. https://eudml.org/doc/222801. 
• Gordon, Ian G.; Griffeth, Stephen (2012). ”Catalan numbers for complex reflection groups”. Am. J. Math. 134 (6): sid. 1491–1502. doi:10.1353/ajm.2012.0047.