Sammansatt funktion

En illustration av den sammansatta funktionen g ∘ f.

En sammansatt funktion är inom matematiken en funktion som kan bildas genom att sätta samman två funktioner. Tecknet , en mittplacerad ring som uttalas "boll", används för att ange sammansatt funktion. De flesta funktioner som förekommer kan beskrivas som sammansättningar av olika funktioner.

Definition

Vid två givna funktioner f och g definieras sammansättningen av f(x) och g(x) genom

Här kallas funktionen den inre funktionen och funktionen den yttre funktionen.

Exempel

Exempel på sammansättning av två funktioner

Låt funktionerna och vara givna.

Vid sammansättning av f och g blir då den sammansatta funktionen . Variabeln x i funktionen f(x) byts ut mot funktionen g(x).

Betraktas istället sammansättningen av g och f får vi som den sammansatta funktionen. I detta exempel har istället förekomsterna av x i funktionen g(x) bytts ut mot funktionen f(x).

Eftersom till exempel men , är inte samma funktion som . Med andra ord är inte en kommutativ operator.

Ett ytterligare exempel är fallet där och . I detta exempel är funktionerna varandras inverser. Dessa funktioner möjliggör följande sammansättningar: och .

Detta visar att sammansättningen av en funktion och dess invers är en funktion som lämnar argumentet oförändrat. Sammansättningen avbildar alltså den inre funktionens definitionsmängd på sig själv.

Referenser

  • Stewart James, "Calculus" 5th edition, (2003), s. 44-45
  • Böiers Lars-Christer, Persson Arne, Analys i en variabel, Tredje upplagan, (2010), Lund: Studentlitteratur, s.92-94

Media som används på denna webbplats

Example for a composition of two functions.svg
Författare/Upphovsman: Stephan Kulla (User:Stephan Kulla), Licens: CC BY-SA 4.0
Concrete example for a composition of two functions
Compfun.png
Författare/Upphovsman: unknown, Licens: FAL