Fullständig (modellteori)

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2017-12) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Inom matematisk logik sägs en teori T vara fullständig om för varje sluten formel kan avgöras i T.

Formell definition

Låt ${\displaystyle T}$ vara en teori i ett språk S. ${\displaystyle T}$ sägs vara fullständig om för varje sluten formel ${\displaystyle \phi \in S}$ gäller antingen

${\displaystyle T\vdash \phi }$ eller ${\displaystyle T\vdash \neg \phi }$

Detta villkor är ekvivalent med att ${\displaystyle T}$ är maximal, dvs att det inte finns någon konsistent mängd formler ${\displaystyle T'}$ så att ${\displaystyle T\subset T'}$ men ${\displaystyle T\neq T'}$.

Exempel

• Givet en modell M är mängden av formler sanna i M en fullständig teori.
• Teorin för algebraiskt slutna kroppar är fullständig.
• Teorin för en tät linjär ordning utan ändpunkter är fullständig.
• Mer allmänt är varje teori som är kategorisk i något kardinaltal fullständig.
• Teorin för differentiellt slutna kroppar är fullständig.
• Peanoaritmetiken är inte fullständig.
• Mer allmänt så är ingen rekursivt axiomatiserbar teori som interpreterar aritmetiken fullständig.