Friidealring

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2015-06) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

En friidealring eller fir är en unitär ring där varje ensidigt ideal är fritt som modul över ringen. En kommutativ ring är en friidealring om och endast om den är en principalidealdomän, men det finns icke-kommutativa friidealringar där ideal kan ha oändlig modulrang.

Om varje vänsterideal i en ring A är fritt, så är A en vänsterfriidealring eller vänsterfir. Definitionen av högerfriidealring (högerfir) är analog. En ring är en FIR om och endast om den är både en vänsterfir och en högerfir.

Formellt är alltså en unitär ring A en vänsterfriidealring, om det för varje vänsterideal q i A finns en familj B = (b_i)_iεI av element i q, sådan att varje element i q på ett och endast ett sätt kan skrivas som en summa av termer a_ib_i för olika i och med varje a_i i A.

Varje monoidring K[G] för en fri monoid G och över vilken som helst kropp K är en fir.

Varje fir kan framställas som en delring av någon skevkropp, och har global homologisk dimension högst ett.