Fourierserie

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2018-03) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Fourierserier (svenskt uttal /fʊrɪˈjeː/^[1], efter Jean Baptiste Joseph Fourier) är en variant av Fouriertransformen för funktioner som bara är definierade för ett intervall av längden ${\displaystyle T}$, eller som är periodiska med periodiciteten ${\displaystyle T}$. Varje kontinuerlig periodisk funktion kan skrivas som summan av ett antal sinusfunktioner med varierande amplitud där varje sinusfunktion har en frekvens som är en heltalsmultipel av den lägsta frekvensen i den periodiska funktionen, 1/T (grundtonen).

Fourierutvecklingen av en funktion ${\displaystyle f}$ med perioden 2π kan definieras som

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))}$, där

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx\\b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx\end{array}}\right.}$

Inte alla periodiska funktioner kan skrivas som en Fourierserie där serien konvergerar punktvis. Ett tillräckligt villkor är t.ex. att ${\displaystyle f}$ är styckvis deriverbar.

Mer allmänt kan Fourierutvecklingen av en vektor ${\displaystyle {\bar {x}}}$ relativt en ortonormerad bas ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i=0}^{n-1}}$ i ett Hilbertrum definieras som

${\displaystyle {\bar {x}}=\sum _{i=0}^{n-1}\langle {\bar {x}},e_{i}\rangle e_{i}}$, för någon inre produkt ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$.

Fourierserien för en reell- eller komplexvärd tidsbegränsad funktion ${\displaystyle f(t),t\in \{\mathbb {R} ,t_{0}\leq t\leq t_{0}+T\}}$, eller för en reell- eller komplexvärd periodisk funktion ${\displaystyle f(t)}$ med periodiciteten ${\displaystyle T}$, definieras som:

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{i2\pi nt/T}}$

där

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\quad (n\in \mathbb {Z} )}$

Basfunktionerna är:

${\displaystyle \Phi _{n}(t)=e^{i2\pi nt/T}}$

De är ortogonala:

${\displaystyle \left\langle \Phi _{n}(t),\Phi _{m}(t)\right\rangle ={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\Phi _{n}(t)\Phi _{m}^{*}(t)\,dt}$

${\displaystyle ={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}e^{i2\pi nt/T}e^{-i2\pi mt/T}\,dt={\begin{cases}1,&{\mbox{om }}n=m\\0,&{\mbox{annars}}\end{cases}}}$

Den reella formen består, till skillnad från den komplexa, av sinus- och cosinuskurvor och kallas därför reell eftersom dessa funktioner är reellvärda.

Den komplexa formen kan vara svår att visualisera och är därmed svårbegriplig, eftersom baskurvorna är komplexvärda och kretsar kring t-axeln. Att använda sig av komplexvärda funktioner kan tyckas onödigt, då det oftast är känt att summan är reellvärd.

Utgå från den komplexa fourierserien

${\displaystyle f(t)\sim \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{i2\pi nt/T}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{in\Omega t},\ \Omega =2\pi /T}$

och omformulera den med hjälp av Eulers formel:

${\displaystyle f(t)\sim \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(\cos(n\Omega t)+i\sin(n\Omega t))}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcc}=c_{0}\ +\ \sum _{n=1}^{\infty }(c_{-n}&\!\!\!(\cos(-n\Omega t)+i\sin(-n\Omega t))&\\+\ c_{n}&\!\!\!(\cos(+n\Omega t)+i\sin(+n\Omega t))&\!\!\!)\end{array}}}$

${\displaystyle =c_{0}\ +\ \sum _{n=1}^{\infty }(c_{n}+c_{-n})\cos(n\Omega t)+i(c_{n}-c_{-n})\sin(n\Omega t)}$

${\displaystyle ={\frac {a_{0}}{2}}\ +\ \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos(n\Omega t)+b_{n}\sin(n\Omega t)}$

där

${\displaystyle {\begin{array}{crl}a_{n}=&c_{n}+c_{-n}=\displaystyle {\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\cos(n\Omega t)dt,&n=0,1,2,...\\\\b_{n}=&i(c_{n}-c_{-n})=\displaystyle {\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\sin(n\Omega t)dt,&n=1,2,...\end{array}}}$

Om alla sinuskoefficienter (b₁, b₂, ...) är 0 är kurvan jämn, eftersom de enda kvarvarande termerna är cosinustermer, vilka är jämna. Detta motsvaras av att serien av fourierkoefficienter är jämn (c_-n = c_n). Om däremot alla cosinuskoefficienter (a₀, a₁, ...) är noll, så vet man att funktionen är udda. Detta motsvaras av att serien av fourierkoefficienter är udda (c_-n = -c_n).

Tidsdiskreta fourierserier används ofta i viss mjukvara, då man oftast bara har tillgång till ett begränsat antal samplingar. Oftast används de för komprimering eller behandling av digitala ljud eller bilder.

Fouriertransformen för en reell- eller komplexvärd funktion ${\displaystyle f(n),n\in \{\mathbb {Z} ,0\leq n\leq N-1\}}$, definieras som:

${\displaystyle f(n)=\sum _{k=0}^{N-1}c_{k}e^{i2\pi kn/N}}$

där

${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}f(n)e^{-i2\pi kn/N}\quad (k\in \mathbb {Z} )}$

Basfunktionerna är:

${\displaystyle \Phi _{k}(n)=e^{i2\pi kn/N}}$

De är ortogonala:

${\displaystyle \left\langle \Phi _{k}(n),\Phi _{l}(n)\right\rangle ={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}\Phi _{k}(n)\Phi _{l}^{*}(n)}$

${\displaystyle ={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}e^{i2\pi kn/N}e^{-i2\pi ln/N}={\begin{cases}1,&{\mbox{om }}k=l\\0,&{\mbox{annars}}\end{cases}}}$

Den tidsdiskreta Fourierserien kräver i allmänhet ${\displaystyle N^{2}}$ komplexa multiplikationer. Algoritmer för att beräkna den betydligt snabbare går under namnet Snabb fouriertransform, vilka kräver i storleksordningen ${\displaystyle N\log N}$ komplexa multiplikationer men ställer krav på N som ofta ska primtalsfaktoriseras på ett visst sätt (de flesta implementationer av FFT stödjer bara N som är exponenter av två, d.v.s. ${\displaystyle N=2^{n},\ n\in \mathbb {N} ,}$ även om det finns de implementationer som är mer flexibla).

• Delton

• Wikimedia Commons har media som rör Fourierserie.
  Bilder & media