Fixpunkt (matematik)

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-02) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

En funktion med tre (synliga) fixpunkter.

Inom matematiken är en fixpunkt till en funktion en punkt som avbildas på sig själv, det vill säga en punkt ${\displaystyle a}$ sådan att ${\displaystyle f(a)=a}$ är en fixpunkt till ${\displaystyle f(x)}$.

För att hitta fixpunkter till en funktion ${\displaystyle f(x)}$ kan man lösa ekvationen ${\displaystyle f(x)=x}$.

Alla funktioner har inte fixpunkter, exempelvis är ${\displaystyle f(x)=x-1}$ fixpunktslös. I det fallet beskriver funktionen en linje som är parallell med linjen ${\displaystyle y=x}$ och linjerna kommer därför aldrig att mötas.

Attraktiva fixpunkter

Fixpunktsiteration för cosinus med begynnelsevärde -1

En attraktiv fixpunkt till en funktion ${\displaystyle f}$ är punkt ${\displaystyle x_{0}}$ sådan att för varje ${\displaystyle x}$ i definitionsmängden till ${\displaystyle f}$ som är tillräckligt nära ${\displaystyle x_{0}}$ så konvergerar serien:

${\displaystyle x,f(x),f(f(x)),f(f(f(x))),...\,}$

till ${\displaystyle x_{0}}$.

Cosinus har en fixpunkt och den är attraktiv. "Tillräckligt nära" i det här fallet innebär alla reella tal. Serien kommer för cosinus att konvergera mot 0,73909... Dock är inte alla fixpunkter attraktiva, till exempel så har funktionen ${\displaystyle f(x)=2x}$ en fixpunkt i ${\displaystyle x_{0}=0}$, men i alla närheter av ${\displaystyle x_{0}}$ (förutom just i ${\displaystyle x_{0}}$) kommer funktionen att avlägsna sig från ${\displaystyle x_{0}}$ istället för att närma sig.

En fixpunkt ${\displaystyle x_{0}}$ är garanterat attraktiv om ${\displaystyle f}$ är kontinuerligt deriverbar i en omgivning till ${\displaystyle x_{0}}$ och ${\displaystyle |f\;'(x_{0})|<1}$,

Fixpunktssatser

Det finns många fixpunktssater som garanterar att det finns en fixpunkt till en funktion under vissa omständigheter. Exempelvis Brouwers fixpunktssats och Borels fixpunktssats

Relaterade koncept

• Egenvektor
• Idempotent
• Invariant