Fibonomialkoefficient

Inom matematiken är Fibonomialkoefficienterna eller Fibonacci-binomialkoefficienterna tal definierade som

{\binom {n}{k}}_{F}={\frac {F_{n}F_{n-1}\cdots F_{n-k+1}}{F_{k}F_{k-1}\cdots F_{1}}}={\frac {n!_{F}}{k!_{F}(n-k)!_{F}}}

där n och k är icke-negativa heltal, 0 ≤ k ≤ n, F_j är det j-th Fibonaccitalet och n!_F är Fibonaccifakulteten med 0!_F= 1.

Fibonomialkoefficienterna är alla heltal. Några speciella värden är:

{\binom {n}{0}}_{F}={\binom {n}{n}}_{F}=1

{\binom {n}{1}}_{F}={\binom {n}{n-1}}_{F}=F_{n}

{\binom {n}{2}}_{F}={\binom {n}{n-2}}_{F}={\frac {F_{n}F_{n-1}}{F_{2}F_{1}}}=F_{n}F_{n-1}

{\binom {n}{3}}_{F}={\binom {n}{n-3}}_{F}={\frac {F_{n}F_{n-1}F_{n-2}}{F_{3}F_{2}F_{1}}}=F_{n}F_{n-1}F_{n-2}/2

{\binom {n}{k}}_{F}={\binom {n}{n-k}}_{F}.

Fibonomialkoefficienterna (talföljd A010048 i OEIS) är analogier av binomialkoefficienterna och kan framställas i en triangel analog till Pascals triangel. De första åtta raderna visas nedan.

Av relationen

{\binom {n}{k}}_{F}=F_{n-k+1}{\binom {n-1}{k-1}}_{F}+F_{k-1}{\binom {n-1}{k}}_{F}

följer det att Fibonomialkoefficienterna alltid är heltal.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Fibonomial coefficient, 1 februari 2014.