Fermat–Catalans förmodan

Inom talteori är Fermat–Catalans förmodan en generalisering av Fermats stora sats och Catalans förmodan. Antagandet säger att ekvationen

${\displaystyle a^{m}+b^{n}=c^{k}}$

endast har ändligt många lösningar (${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$, ${\textstyle c}$, ${\textstyle m}$, ${\textstyle n}$, ${\textstyle k}$) med distinkta tripletter av värden (${\textstyle a^{m}}$, ${\textstyle b^{n}}$, ${\textstyle c^{k}}$) där ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$, ${\textstyle c}$ är positiva relativt prima heltal och ${\textstyle m}$, ${\textstyle n}$, ${\textstyle k}$ är positiva heltal som tillfredsställer

${\displaystyle {\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1}$.

Ojämlikheten mellan ${\textstyle m}$, ${\textstyle n}$ och ${\textstyle k}$ är en nödvändig del av antagandet. Utan den skulle det finnas oändligt många lösningar.

Kända lösningar

Sedan 2015 har följande lösningar hittats som tillfredsställer båda ekvationerna:^[1]

${\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}\;}$ (för ${\displaystyle m>6}$)

${\displaystyle 2^{5}+7^{2}=3^{4}}$

${\displaystyle 7^{3}+13^{2}=2^{9}}$

${\displaystyle 2^{7}+17^{3}=71^{2}}$

${\displaystyle 3^{5}+11^{4}=122^{2}}$

${\displaystyle 33^{8}+1\ 549\ 034^{2}=15\ 613^{3}}$

${\displaystyle 1\ 414^{3}+2\ 213\ 459^{2}=65^{7}}$

${\displaystyle 9\ 262^{3}+15\ 312\ 283^{2}=113^{7}}$

${\displaystyle 17^{7}+76\ 271^{3}=21\ 063\ 928^{2}}$

${\displaystyle 43^{8}+96\ 222^{3}=30\ 042\ 907^{2}}$

Referenser

Externa länkar

• Perfect Powers: Pillai’s works and their developments av M. Waldschmidt