Felfunktionen
Felfunktionen, erf, (också kallad Gauss felfunktion) är inom matematiken en specialfunktion (den är inte elementär) som förekommer inom sannolikhetslära, statistik och tillämpade partiella differentialekvationer. Den definieras som[1][2]
Inom statistiken har felfunktionen för icke-negativa tal tolkningen: för en stokastisk variabel Y som är normalfördelad med medelvärdet 0 och variansen 1/2, beskriver erf(x) sannolikheten för Y inom intervallet [−x, x].
Egenskaper
Egenskapen innebär att felfunktionen är en udda funktion. För varje komplext tal z är
där är det komplexa konjugatet av z.
Integranden ƒ = exp(−z2) och ƒ = erf(z) visas i det komplexa z-plane i figurerna 2 and 3. Beloppet av Im(ƒ) = 0 visas med en tjock grön linje. Negativa heltalsvärden hos Im(ƒ) visas med tjocka röda linjer. Positiva heltalsvärden av Im(f) visas med tjocka blå linjer. Mellanliggande värden Im(ƒ) = konstant visas med tunna gröna linjer. Mellanliggande värden av Re(ƒ) = konstant visas med tunna röda linjer för negativa värden och med tunna blå linjer för positiva värden.
Felfunktionen är exakt 1 vid +∞. Längs den reella axeln närmar sig erf(z) 1 när z → +∞ och −1 när z → −∞. Längs den imaginära axeln, närmar sig funktionen ±i∞.
Taylorserier
Felfunktionen är en hel funktion; den har inga singulariteter (med undantag för den vid oändligheten) och dess Taylorutveckling konvergerar alltid.
Den definierande integralen kan inte beräknas i sluten form med elementära funktioner, men genom expansion av e−z2 i dess Maclaurinserie och integration term för term erhålls felfunktionens Maclaurinserie som
vilken gäller för varje komplext tal z.
Den imaginära felfunktionen har en liknande Maclaurinserie:
vilken gäller för varje komplext tal z.
Derivata och integral
Felfunktionens derivata följer direkt från dess definition:
En primitiv funktion till felfunktionen, erhålls genom partialintegration och är
En primitiv funktion till den komplexa felfunktionen, erhålls också genom partialintegration och är
Högre derivator ges av
där är ett Hermitepolynom.[3]
Referenser
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, erf, 18 mars 2018.
Noter
- ^ Andrews, Larry C.; Special functions of mathematics for engineers
- ^ Greene, William H.; Econometric Analysis (fifth edition), Prentice-Hall, 1993, p. 926, fn. 11
- ^ Wolfram MathWorld
Externa länkar
- Wikimedia Commons har media som rör Felfunktionen.
|
Media som används på denna webbplats
Författare/Upphovsman: Domitori, Licens: CC BY-SA 3.0
f=exp(-z^2) in the comples z=x+iy plane. Levels of integer values of Re(f) are shown with thick black lines. Level of Im(f)=0 is shown with think green line.
Negative integer values of Im(f) are shown with thick red lines. Positive integer values of Im(f) are shown with thick blue lines. Intermediate levels of Im(f)=const are shown with thin green lines.
Intermediate levels of Re(f)=const are shown with thin red lines for negative values and with thin blue lines for positive values.Författare/Upphovsman: Domitori, Licens: CC BY 3.0
f=erf(z) in the complex z plane. Levels of integer values of Re(f) are shown with thick black lines. Level of Im(f)=0 is shown with thin green line.
Negative integer values of Im(f) are shown with thick red lines. Positive integer values of Im(f) are shown with thick blue lines. Intermediate levels of Im(f)=const are shown with thin green lines.
Intermediate levels of Re(f)=const are shown with thin red lines for negative values and with thin blue lines for positive values.