Felfunktionen

Felfunktionens graf

Felfunktionen, erf, (också kallad Gauss felfunktion) är inom matematiken en specialfunktion (den är inte elementär) som förekommer inom sannolikhetslära, statistik och tillämpade partiella differentialekvationer. Den definieras som[1][2]

Inom statistiken har felfunktionen för icke-negativa tal tolkningen: för en stokastisk variabel Y som är normalfördelad med medelvärdet 0 och variansen 1/2, beskriver erf(x) sannolikheten för Y inom intervallet [−xx].

Egenskaper

Grafer i det komplexa planet
Integranden exp(−z2)
erf(z)

Egenskapen innebär att felfunktionen är en udda funktion. För varje komplext tal z är

där är det komplexa konjugatet av z.

Integranden ƒ = exp(−z2) och ƒ = erf(z) visas i det komplexa z-plane i figurerna 2 and 3. Beloppet av Im(ƒ) = 0 visas med en tjock grön linje. Negativa heltalsvärden hos Im(ƒ) visas med tjocka röda linjer. Positiva heltalsvärden av Im(f) visas med tjocka blå linjer. Mellanliggande värden Im(ƒ) = konstant visas med tunna gröna linjer. Mellanliggande värden av Re(ƒ) = konstant visas med tunna röda linjer för negativa värden och med tunna blå linjer för positiva värden.

Felfunktionen är exakt 1 vid +∞. Längs den reella axeln närmar sig erf(z) 1 när z → +∞ och −1 när z → −∞. Längs den imaginära axeln, närmar sig funktionen ±i∞.

Taylorserier

Felfunktionen är en hel funktion; den har inga singulariteter (med undantag för den vid oändligheten) och dess Taylorutveckling konvergerar alltid.

Den definierande integralen kan inte beräknas i sluten form med elementära funktioner, men genom expansion av ez2 i dess Maclaurinserie och integration term för term erhålls felfunktionens Maclaurinserie som

vilken gäller för varje komplext tal  z.

Den imaginära felfunktionen har en liknande Maclaurinserie:

vilken gäller för varje komplext tal z.

Derivata och integral

Felfunktionens derivata följer direkt från dess definition:

En primitiv funktion till felfunktionen, erhålls genom partialintegration och är

En primitiv funktion till den komplexa felfunktionen, erhålls också genom partialintegration och är

Högre derivator ges av

där är ett Hermitepolynom.[3]

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, erf, 18 mars 2018.

Noter

  1. ^ Andrews, Larry C.; Special functions of mathematics for engineers
  2. ^ Greene, William H.; Econometric Analysis (fifth edition), Prentice-Hall, 1993, p. 926, fn. 11
  3. ^ Wolfram MathWorld

Externa länkar

Media som används på denna webbplats

Error Function.svg
A graph of the error function between -3 and 3.
ComplexEx2.jpg
Författare/Upphovsman: Domitori, Licens: CC BY-SA 3.0
f=exp(-z^2) in the comples z=x+iy plane. Levels of integer values of Re(f) are shown with thick black lines. Level of Im(f)=0 is shown with think green line.

Negative integer values of Im(f) are shown with thick red lines. Positive integer values of Im(f) are shown with thick blue lines. Intermediate levels of Im(f)=const are shown with thin green lines.

Intermediate levels of Re(f)=const are shown with thin red lines for negative values and with thin blue lines for positive values.
ComplexErf.jpg
Författare/Upphovsman: Domitori, Licens: CC BY 3.0
f=erf(z) in the complex z plane. Levels of integer values of Re(f) are shown with thick black lines. Level of Im(f)=0 is shown with thin green line.

Negative integer values of Im(f) are shown with thick red lines. Positive integer values of Im(f) are shown with thick blue lines. Intermediate levels of Im(f)=const are shown with thin green lines.

Intermediate levels of Re(f)=const are shown with thin red lines for negative values and with thin blue lines for positive values.