Fatous lemma

Fatous lemma är en olikhet inom matematisk analys som förkunnar att om ${\displaystyle \mu }$ är ett mått på en mängd ${\displaystyle X}$ och ${\displaystyle f_{n}}$ är en följd av funktioner på ${\displaystyle X}$, mätbara med avseende på ${\displaystyle \mu }$, så gäller

${\displaystyle \int \liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}\,\mathrm {d} \mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int f_{n}\,\mathrm {d} \mu .}$

Bevis

Fatous lemma kan bevisas på följande vis. Låt ${\displaystyle g_{n}(x)=\inf\{\,f_{k}(x):n\leq k\,\}}$. Då är ${\displaystyle g_{n}\leq f_{n}}$ och ${\displaystyle \{g_{n}\}}$ är en växande följd av funktioner på ${\displaystyle X}$. Härav följer att

${\displaystyle \int g_{n}\,\mathrm {d} \mu \leq \int f_{n}\,\mathrm {d} \mu }$

gäller för varje ${\displaystyle n}$ och att gränsvärdet ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int g_{n}\,\mathrm {d} \mu }$ existerar, varför

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int g_{n}\,\mathrm {d} \mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int f_{n}\,\mathrm {d} \mu }$.

Det är också klart att ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }g_{n}=\liminf _{n\to \infty }f_{n}}$. Nu ger monotona konvergenssatsen att

${\displaystyle \int \liminf _{n\to \infty }f_{n}\,\mathrm {d} \mu =\int \lim _{n\to \infty }g_{n}\,\mathrm {d} \mu =\lim _{n\to \infty }\int g_{n}\,\mathrm {d} \mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int f_{n}\,\mathrm {d} \mu }$,

vilket slutför beviset.