Se Eulers formel (geometri) för det resultat gällande konvexa polyedrar som även kallas "Eulers formel" Eulers formel på enhetscirkeln i det komplexa talplanet . Eulers formel inom komplex analys , uppkallad efter Leonhard Euler , kopplar samman exponentialfunktionen och de trigonometriska funktionerna :[ 1]
e i θ = cos θ + i sin θ {\displaystyle \ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }=\cos \theta +\mathrm {i} \sin \theta } En enkel konsekvens av Eulers formel är Eulers identitet
e i π + 1 = 0 {\displaystyle \ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }+1=0} som förbluffat matematikstuderande genom tiderna. Formeln relaterar fyra tal från helt olika delar av matematiken: talet e {\textstyle e} analysen , talet π {\textstyle \pi } geometrin , den imaginära enheten , i {\textstyle i} komplexa talen och talet 1 från aritmetiken .
Formeln kan härledas ur taylorutvecklingen av e z {\displaystyle e^{z}} z = i θ {\textstyle z=i\theta } Eulers formler , vilka istället uttrycker de trigonometriska funktionerna sinus och cosinus med hjälp av exponentialfunktionen:[ 1]
sin θ = e i θ − e − i θ 2 i {\displaystyle \sin \theta ={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta }}{2i}}} cos θ = e i θ + e − i θ 2 {\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta }}{2}}}
Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras . (2020-04) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter ). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan .
Taylorserien för den reella exponentialfunktionen e x {\textstyle e^{x}}
e x = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}} Detta motiverar definitionen av den komplexa exponentialfunktionen enligt
e z = 1 + z 1 ! + z 2 2 ! + z 3 3 ! + ⋯ {\displaystyle \mathrm {e} ^{z}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots } Funktionerna e x {\textstyle e^{x}} cos ( x ) {\textstyle \cos(x)} sin ( x ) {\textstyle \sin(x)} x {\textstyle x} reellt tal ) kan taylorutvecklas runt noll, vilket ger serierna
e x
= 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ cos x
= 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ sin x
= x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {e} ^{x}&{}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots \\\cos x&{}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\\sin x&{}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}} För komplexa tal z {\textstyle z} x {\textstyle x} z {\textstyle z} x {\textstyle x} z {\textstyle z} z {\textstyle z} konvergensradierna är oändliga . De tre serierna är absolutkonvergenta för alla z {\textstyle z}
e i z
= 1 + i z + ( i z ) 2 2 ! + ( i z ) 3 3 ! + ( i z ) 4 4 ! + ( i z ) 5 5 ! + ( i z ) 6 6 ! + ( i z ) 7 7 ! + ( i z ) 8 8 ! + ⋯
= 1 + i z − z 2 2 ! − i z 3 3 ! + z 4 4 ! + i z 5 5 ! − z 6 6 ! − i z 7 7 ! + z 8 8 ! + ⋯
= ( 1 − z 2 2 ! + z 4 4 ! − z 6 6 ! + z 8 8 ! − ⋯ ) + i ( z − z 3 3 ! + z 5 5 ! − z 7 7 ! + ⋯ )
= cos z + i sin z {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {e} ^{iz}&{}=1+\mathrm {i} z+{\frac {(\mathrm {i} z)^{2}}{2!}}+{\frac {(\mathrm {i} z)^{3}}{3!}}+{\frac {(\mathrm {i} z)^{4}}{4!}}+{\frac {(\mathrm {i} z)^{5}}{5!}}+{\frac {(\mathrm {i} z)^{6}}{6!}}+{\frac {(\mathrm {i} z)^{7}}{7!}}+{\frac {(\mathrm {i} z)^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=1+\mathrm {i} z-{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {\mathrm {i} z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {\mathrm {i} z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}-{\frac {\mathrm {i} z^{7}}{7!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=\left(1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}-\cdots \right)+\mathrm {i} \left(z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\&{}=\cos z+\mathrm {i} \sin z\end{aligned}}} Notera att om z {\textstyle z} x {\textstyle x}
e i x = cos x + i sin x {\displaystyle \mathrm {e} ^{ix}=\cos {x}+\mathrm {i} \sin {x}}
Referenser ^ [a b Ekbom, Lennart (1978). Tabeller och formler N T Te ISBN 91-24-27604-9
Wikimedia Commons har media som rör Eulers formel.
