Eulers ekvationer

Eulers ekvationer beskriver rörelsen hos ideala fluider, dvs inkompressibla fluider med konstant densitet. Ekvationerna formulerades av Leonhard Euler 1755.

Kraften som verkar på ett fluidelement beskrivs av

${\displaystyle p\mathbf {n} \delta \mathbf {S} }$

där p(x,y,z,t) är en skalär funktion oberoende av normalen, n, och benämns tryck.

Om vi fixerar en kub med volymen, V, i fluiden och sidan S som har normalen riktad ut från kuben, så kommer flödet in i V via vissa delar av S och ut från andra. Hastighetskomponenten längs normalen är u ${\displaystyle \cdot }$ n, vilket ger att volymen som lämnar kuben genom en liten del av ytan, ${\displaystyle \delta }$ S under en tidsenhet blir u ${\displaystyle \cdot }$ n${\displaystyle \delta }$ S. Nettovolymen av utflödet blir då

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} d\mathbf {S} }$

Detta är självklart noll för en inkompressibel fluid och med hjälp av divergenssatsen fås

${\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot \mathbf {u} d\mathbf {V} =0}$

Detta måste vara sant i hela fluiden. Anta nu att ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} }$ är större än noll i någon punkt i fluiden. Förutsatt kontinuitet ger det att ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} }$ är större än noll i en liten sfär runt punkten och om V skulle vara den sfären så strider det mot ovanstående ekvation. Samma sak fås om ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} }$ är mindre än noll och därmed kan vi dra slutsatsen att

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

överallt i fluiden.

Följderna av uttrycket för kraften tydliggörs genom att betrakta en färgad blob av fluiden. Nettokraften som utövas på blobben är

${\displaystyle -\int _{S}p\mathbf {n} d\mathbf {S} =-\int _{V}\nabla pd\mathbf {V} }$

Minustecknen kommer av att n är riktad ut från S. Förutsatt att ${\displaystyle \nabla p}$ är kontinuerlig, kommer trycket att vara konstant över en liten blob med volymen ${\displaystyle \delta }$V. Nettokraften blir då ${\displaystyle \nabla p\delta }$V över blobben.

Nu kan vi lägga till gravitationens inverkan och får

${\displaystyle (-\nabla p+\rho \mathbf {g} )\delta V}$

Denna kraft måste vara samma som produkten av blobbens massa (som är konserverad) och dess acceleration, vilket är

${\displaystyle \rho \delta V{\frac {{\mbox{D}}\mathbf {u} }{{\mbox{D}}t}}}$

Därmed får vi

${\displaystyle {\frac {{\mbox{D}}\mathbf {u} }{{\mbox{D}}t}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\mathbf {g} }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

som är de grundläggande rörelseekvationerna för en ideal fluid (Eulers ekvationer). Utskrivna blir de

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}},}$

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}+w{\frac {\partial v}{\partial z}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}},}$

${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial t}}+u{\frac {\partial w}{\partial x}}+v{\frac {\partial w}{\partial y}}+w{\frac {\partial w}{\partial z}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}-g,}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}=0}$

Eftersom gravitationen är konservativ kan den skrivas som gradienten till en potential:

${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \xi }$

Nu kan Euler's ekvation skrivas om på formen

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =-\nabla \left({\frac {p}{\rho }}+\xi \right)}$

där ${\displaystyle \rho }$ förutsätts konstant.

Vidare kan det vara användbart att utnyttja identiteten

${\displaystyle (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\frac {1}{2}}\nabla (\mathbf {u} ^{2})}$

för att få rörelseekvationen på formen

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} =-\nabla \left({\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{2}}\mathbf {u} ^{2}+\xi \right)}$

Vilket leder till Bernoulli's strömlinjeteorem.

Källor

• D.J. Acheson, Elementary Fluid Dynamics, Oxford applied mathematics and computing science series. ISBN 978-0-19-859679-0.