Eulerkarakteristik

Eulerkarakteristisken är en topologisk invariant i form av ett tal. Den introducerades av Euler när han studerade konvexa polyedrar. Han noterade att uttrycket ${\displaystyle v-e+r}$, där ${\displaystyle v}$ betecknar antalet hörn, ${\displaystyle e}$ antalet kanter, och ${\displaystyle r}$ antalet regioner (områden på polyedern som begränsas av sidor), är lika med ${\displaystyle 2}$ oavsett vilken polyeder som betraktas. Exempelvis har en kub 8 hörn, 12 kanter, och 6 regioner. Eulerkarakteristiken för kuben är därför 8 - 12 + 6 = 2.

Definition

Att dimensionen för de tre klasserna hörn, kant, region, är 0, 1, respektive 2 i definitionen ovan, motiverar följande allmännare definition för ändliga CW-komplex ${\displaystyle X}$: ${\displaystyle \chi =\sum _{i=0}^{n-1}(-1)^{i}k_{i}}$, där ${\displaystyle k_{n}}$ är antalet n-dimensionella celler (topologiska rum homeomorfa till ett n-dimensionellt simplex) i CW-komplexet.

Egenskaper

Låt ${\displaystyle A}$ och ${\displaystyle B}$ vara delmängder av ett topologiskt rum. För eulerkarakteristiken ${\displaystyle \chi (\cdot )}$ gäller:

• ${\displaystyle \chi (A\times B)=\chi (A)\cdot \chi (B)}$
• ${\displaystyle \chi (A\cup B)=\chi (A)+\chi (B)-\chi (A\cap B)}$

Exempel

Torusen, liksom cirkeln, har eulerkarakteristik ${\displaystyle 0}$. Det slutna intervallet ${\displaystyle [0,1]}$ har eulerkarakteristik ${\displaystyle 2}$.