Epsilon-delta-bevis

Epsilon-delta-bevis är en typ av matematiska bevis angående gränsvärden. Med hjälp av epsilon-delta-bevis kan man exempelvis undersöka funktioners kontinuitet eller bevisa att en funktion har ett visst gränsvärde i en viss punkt.

Princip

Principen bakom epsilon-delta-beviset är att man undersöker en funktions kontinuitet i en viss punkt, i ett obegränsat antal dimensioner. Om man undersöker en funktion i en variabel, ${\displaystyle f(x)}$, så granskar man en punkt ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$.

Man bestämmer en viss avvikelse som tillåts från ${\displaystyle y_{0}}$ betecknat epsilon (${\displaystyle \epsilon }$). Man vill nu hitta en liknande avvikelse på x-axeln, delta (${\displaystyle \delta }$) som man vill få ett uttryck för. Idén är att bevisa att för alla ${\displaystyle \epsilon >0}$, oberoende hur litet man väljer det, finns det ett motsvarande ${\displaystyle \delta >0}$ som gör att funktionens värden hålls innanför det bestämda intervallet (ifall funktionen är kontinuerlig i den valda punkten). I epsilon-delta-beräkningen gäller nu följande:

Vi studerar funktionen ${\displaystyle f(x)}$ för olika värden på x. Om x kommer närmare punkten (${\displaystyle x_{0},y_{0}}$) än det ${\displaystyle \delta }$ vi söker, måste funktionens y-värde i punkten x vara närmare ${\displaystyle y_{0}}$ än det ${\displaystyle \epsilon }$ vi bestämt.

I matematisk skrift kan detta uttryckas:

${\displaystyle \left|x-x_{0}\right|<\delta \Rightarrow \left|f(x)-f(x_{0})\right|<\epsilon }$

Exempel

Vi har funktionen ${\displaystyle f(x)=2x-7}$ och vi vill bevisa att ${\displaystyle \lim _{x\to 4}f(x)=1}$ (notera att detta inte trivialt följer av att ${\displaystyle f(4)=1}$. Det vi i realiteten visar är att funktionen är kontinuerlig i ${\displaystyle x=4}$). Vi gör detta med hjälp av ett epsilon-delta-bevis. Vi bestämmer inget speciellt tal för epsilon, utan vi vill ha ett uttryck som svar.

Vi utgår ifrån att

${\displaystyle \left|f(x)-f(x_{0})\right|<\epsilon }$

${\displaystyle \Leftrightarrow \left|2x-7-1\right|<\epsilon }$

${\displaystyle \Leftrightarrow \left|2x-8\right|<\epsilon }$

${\displaystyle \Leftrightarrow 2\left|x-4\right|<\epsilon }$

${\displaystyle \Leftrightarrow \left|x-4\right|<{\frac {\epsilon }{2}}}$

Detta innebär att så länge x-värdet vi granskar inte är längre än ${\displaystyle {\frac {\epsilon }{2}}}$ från ${\displaystyle x_{0}=4}$, är y-värdet mindre än ${\displaystyle \epsilon }$ från ${\displaystyle y_{0}=1}$.

Vi kan alltså välja ${\displaystyle \delta ={\frac {\epsilon }{2}}}$ som maximal avvikelse längs x-axeln och kan då konstatera att så länge ${\displaystyle 0<\left|x-4\right|<\delta }$ är ${\displaystyle \left|y-y_{0}\right|=\left|(2x-7)-1\right|<\epsilon ,\forall \epsilon >0}$.

Alternativ beskrivning

Studera den reellvärda funktionen

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}},}$

vars definitionsmängd är den punkterade tallinjen ${\displaystyle \mathbf {R} \setminus \{1\}}$. Vi är intresserade av att undersöka funktionens värden, ${\displaystyle f(x)}$, då argumentet, ${\displaystyle x}$, rör sig kring det förbjudna talet ${\displaystyle 1}$. Om argumentet antar värdena 1.01, 1.001, 1.0001 och 0.9999, antar funktionen de motsvarande värdena 2.01, 2.001, 2.0001 respektive 1.9999. Detta indikerar att funktionsvärdet f(x) närmar sig talet 2 då argumentet x närmar sig talet 1, både från höger och vänster på tallinjen. Det verkar som man kan få funktionsvärdet hur nära talet 2 som helst, bara man väljer argumentet tillräckligt nära talet 1.

Säg att vi vill att funktionsvärdet ${\displaystyle f(x)}$ skall befinna sig på avståndet ${\displaystyle \varepsilon }$ från talet 2. Detta kan man uttrycka med hjälp av absolutbelopps-funktionen:

${\displaystyle \vert f(x)-2\vert <\varepsilon .}$

Vad innebär detta för argumentet ${\displaystyle x}$ ?

Om man sätter in uttrycket för funktionsvärdena får man

${\displaystyle \vert f(x)-2\vert =\left\vert {\frac {x^{2}-1}{x-1}}-2\right\vert =\vert x+1-2\vert =\vert x-1\vert ,}$

där vi har tillämpat konjugatregeln för att förenkla uttrycket ${\displaystyle {\frac {x^{2}-1}{x-1}}}$. Detta visar att om vi vill att avståndet ${\displaystyle \vert f(x)-2\vert <\varepsilon ,}$ måste vi välja talet ${\displaystyle x}$ så att avståndet ${\displaystyle \vert x-1\vert <\varepsilon .}$

Vi har alltså lyckats visa att det, för varje val av talet ${\displaystyle \varepsilon }$, går att finna ett motsvarande tal ${\displaystyle \delta }$ — vilket i detta fall råkar sammanfalla med talet ${\displaystyle \varepsilon }$ — så att avståndet ${\displaystyle \vert f(x)-2\vert <\varepsilon }$ om avståndet ${\displaystyle \vert x-1\vert <\delta .}$

Med logisk symbolik uttrycker man detta på följande sätt:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\quad \exists \delta >0:\quad \vert x-1\vert <\delta \Longrightarrow \vert f(x)-2\vert <\varepsilon .}$

Detta utläses: För varje ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existerar det ${\displaystyle \delta >0}$ sådant att om ${\displaystyle \vert x-1\vert <\delta ,}$ så är ${\displaystyle \vert f(x)-2\vert <\varepsilon .}$

Källor

• Wolfram MathWorld: Epsilon-Delta Proof
• Wolfram MathWorld: Epsilon-Delta Definition