Enkelt sammanhängande mängd

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2023-05) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

En enkelt sammanhängande mängd är ett matematiskt begrepp som lite löst kan sägas betyda att en mängd består av ett enda stycke och saknar "hål". Detta betyder att givet en "start" och ett "mål", och två godtyckliga "vägar" mellan dem, finns det alltid en möjlighet att undan för undan flytta den ena vägen till den andra, utan att den någonsin bryts eller lämnar vare sig start eller slutpunkterna.

Definition

Noggrannare uttryckt är en sammanhängande mängd U av ett topologiskt rum enkelt sammanhängande om varje sluten kurva i U kontinuerligt kan deformeras till en punkt. Detta uttrycks även som att i mängden U är varje sluten kurva homotopiskt trivial, eller att mängdens fundamentalgrupp är trivial.

Exempel

(c) Salix alba på engelska Wikipedia, CC BY 2.5

Ett par grundläggande exempel på enkelt sammanhängande mängder ges av planet R² eller den tvådimensionella sfären S².

Om man plockar bort en punkt från R², origo till exempel, är den ej längre enkelt sammanhängande. På samma sätt är cirkeln S¹ inte enkelt sammanhängande.

Om man däremot plockar bort en punkt från R³, är den fortfarande enkelt sammanhängande. Ett starkare villkor, kontraherbarhet, utesluter även denna typ av "hål".