Enkel modul

En enkel modul är inom ringteori en (vänster- eller höger)modul som har exakt två delmoduler, nämligen hela modulen och nollmodulen. Eftersom den alltså inte har någon icke-trivial delmodul, kallas den "enkel" i betydelsen "inte sammansatt".

Varje nollskilt element i en enkel modul genererar hela modulen. Om nämligen till exempel M är en enkel vänstermodul över den unitära ringen A, och x ≠ 0 är ett element i M, så är Ax = { ax : a ∈ A } en nollskild delmodul av M. Eftersom M enligt antagandet inte har några andra delmoduler än 0 och M själv, måste Ax = M, det vill säga, x genererar hela M. Speciellt är varje enkel modul en cyklisk modul, men omvändningen gäller i allmänhet inte.

Exempel

Ett linjärt rum är enkelt (som modul över sin kropp av skalärer) precis om det är endimensionellt. En abelsk grupp är enkel som modul över Z precis om den är enkel som grupp, och det är en abelsk grupp precis om den är en ändlig grupp av primtalsordning.

Egenskaper

En modul är enkel precis om den har den ändliga längden 1. Detta är en omedelbar följd av definitionerna.

Varje enkel modul är indekomposabel, men omvändningen gäller i allmänhet inte. Exempelvis är en cyklisk grupp indekomposabel precis om dess ordning är en potens av ett primtal, så den cykliska gruppen av ordning 4 är inte en direkt summa av två äkta delmoduler, men är ändå inte enkel.

Det finns moduler som saknar enkla delmoduler, exempelvis Z betraktad som modul över sig själv, eftersom den saknar delgrupper av primtalsordningar; se ovan.

Om S är en enkel modul och f : S→T är en modulhomomorfi, så är f antingen nollhomomorfin eller injektiv. Detta beror på att kärnan för f är en delmodul av S, och alltså definitionsmässigt antingen hela S eller 0. Om T också är en enkel modul, så måste f antingen vara noll eller en isomorfi, eftersom bilden av f är en delmodul av T och alltså antingen 0 eller hela T. Sammantaget visar detta att endomorfiringen till en enkel modul alltid är en skevkropp. Detta resultat är känt som Schurs lemma.

Omvändningen till Schurs lemma gäller i allmänhet inte. Exempelvis är talområdet Q inte enkel som abelsk grupp (det vill säga som Z-modul), men dess endomorfiring är isomorf med kroppen Q.