Enhetsrot

I matematik är en (n:te) enhetsrot en lösning till en ekvation av utseendet xⁿ = 1, där n är något positivt heltal. I allmänhet avses då lösningar som är komplexa tal.

De n:te enhetsrötterna ligger utspridda jämnt på enhetscirkeln. De kan enkelt beskrivas på polär form, som

${\displaystyle e^{{2k\pi \over n}i}=\cos {2k\pi \over n}+i\sin {2k\pi \over n}\,,\quad k=0,\ldots ,n-1\,.}$

Det är dock ibland intressantare att ange real- och imaginärdelarna direkt, som algebraiska uttryck. Exempelvis är de tredje enhetsrötterna

${\displaystyle 1,{-1+{\sqrt {3}}i \over 2}}$ och ${\displaystyle {-1-{\sqrt {3}}i \over 2}}$,

och de fjärde enhetsrötterna är helt enkelt 1, i, -1 och -i.

Primitiva enhetsrötter

En n:te enhetsrot ω är en primitiv n:te enhetsrot, om x = ω inte är en lösning på en ekvation x^m = 1 för något positivt heltal m som är strikt mindre än n. Exempelvis är -1 en fjärde enhetsrot, därför att (-1)⁴ = 1, men -1 är inte en primitiv fjärde enhetsrot, eftersom även (-1)² = 1. De primitiva tredje enhetsrötterna är ${\displaystyle {-1+{\sqrt {3}}i \over 2}}$ och ${\displaystyle {-1-{\sqrt {3}}i \over 2}}$, och de primitiva fjärde enhetsrötterna är -i och i.

Litet abstraktare kan de primitiva n:te enhetsrötterna beskrivas som elementen av ordning n i den multiplikativa gruppen av nollskilda komplexa tal.

Källor

• Beachy, John A.; William D. Blair (1996). Abstract algebra. Prospect Heights, Ill.: Waveland Press. ISBN 0-88133-866-4