Elliott–Halberstams förmodan

Inom talteori är Elliott–Halberstams förmodan en förmodan om primtalens fördelning i aritmetiska följder. Den är uppkallad efter Peter D. T. A. Elliott och Heini Halberstam.

Låt ${\displaystyle \pi (x)}$ vara antalet primtal mindre eller lika stora som x. Om q är ett positivt heltal och a är relativt primt till q definieras ${\displaystyle \pi (x;q,a)}$ som antalet primtal mindre eller lika stora som x som är lika med a modulo q. Dirichlets sats om aritmetiska följder säger att

${\displaystyle \pi (x;q,a)\approx {\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}}$

där a och q är relativt prima och ${\displaystyle \varphi }$ är Eulers fi-funktion. Om vi definierar feltermen

${\displaystyle E(x;q)=\max _{(a,q)=1}\left|\pi (x;q,a)-{\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}\right|}$

där max är över alla a relativt prima till q säger Elliott–Halberstams förmodan att för alla θ < 1 och A > 0 finns det en konstant C > 0 så att

${\displaystyle \sum _{1\leq q\leq x^{\theta }}E(x;q)\leq {\frac {Cx}{\log ^{A}x}}}$

gäller för alla x > 2.

Förmodandet bevisades för alla θ < 1/2 av Enrico Bombieri och A. I. Vinogradov (se Bombieri–Vinogradovs sats, ibland bara "Bombieris sats"). Det är känt att förmodan inte gäller vid θ = 1.

Se även

• Barban–Davenport–Halberstams sats
• Barban–Montgomerys sats

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Elliott–Halberstam conjecture, 28 januari 2014.

Källor

• Bombieri, E. (1965). ”On the large sieve”. Mathematika 12: sid. 201–225. 
• Elliott, P. D. T. A.; Halberstam, H. (1968). ”A conjecture in prime number theory”. Symp. Math. 4: sid. 59–72. 
• Vinogradov, A. I. (1965). ”The density hypothesis for Dirichlet L-series” (på ryska). Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 29 (4): sid. 903–934. 
• Soundararajan, K. (2007). ”Small gaps between prime numbers: The work of Goldston–Pintz–Yıldırım”. Bull. AMS 44 (1): sid. 1–18. doi:10.1090/S0273-0979-06-01142-6.