Egenskaper hos mått

Denna artikel utgör en fördjupning av artikeln om mått.

Ett mått har några intressanta egenskaper. Låt ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ vara ett måttrum.

Grundläggande egenskaper

Monotonicitet: Om ${\displaystyle E_{1},E_{2}\in {\mathcal {F}}}$ där ${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}}$ är

${\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})}$.

Subadditiv: Om ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},...\in {\mathcal {F}}}$ är en följd av mängder (inte nödvändigtvis disjunkta) gäller att

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})}$.

Konvergenssatser

Ett mått uppfyller följande konvergenssatser:

• Om ${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq ...\in {\mathcal {F}}}$ är

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\lim _{i\rightarrow \infty }\mu (A_{i})}$.

• Om ${\displaystyle B_{1}\supseteq B_{2}\supseteq B_{3}\supseteq ...\in {\mathcal {F}}}$ där ${\displaystyle \mu (B_{1})<\infty }$ är

${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }B_{i}\right)=\lim _{i\rightarrow \infty }\mu (B_{i})}$.

Gränsvärdena ${\displaystyle \lim _{i\rightarrow \infty }\mu (A_{i})}$ och ${\displaystyle \lim _{i\rightarrow \infty }\mu (B_{i})}$ finns eftersom måttet är monotont:

${\displaystyle \mu (A_{1})\leq \mu (A_{2})\leq ...}$

${\displaystyle \mu (B_{1})\geq \mu (B_{2})\geq ...}$

om ${\displaystyle \mu (A_{i})\nearrow \infty }$ definierar vi ${\displaystyle \lim _{i\rightarrow \infty }\mu (A_{i}):=\infty }$.

Källor

• P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950

Den här artikeln ingår i boken:  Måtteori