Duffin–Schaeffers förmodan

Inom talteori är Duffin–Schaeffers förmodan en viktig förmodan inom diofantisk approximation framtagen av R. J. Duffin och A. C. Schaeffer 1941. Förmodan säger att om ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$ är en positiv reellvärd funktion, då har för nästan alla ${\displaystyle \alpha }$ (i förhållande till Lebesguemåttet) olikheten

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {f(q)}{q}}}$

oändligt många lösningar i relativt prima heltal ${\displaystyle p,q}$ med ${\displaystyle q>0}$ om och bara om summan

${\displaystyle \sum _{q=1}^{\infty }f(q){\frac {\varphi (q)}{q}}=\infty }$

där ${\displaystyle \varphi (q)}$ är Eulers fi-funktion.

Förmodan är än så länge obevisad. En högre-dimensionell analogi av den har dock lösts.^[1][2]

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Duffin–Schaeffer conjecture, 4 mars 2013.

Noter

Allmänna källor

• Harman, Glyn (1998). Metric number theory. London Mathematical Society Monographs. New Series. "18". Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-850083-1. 
• Harman, Glyn (2002). ”One hundred years of normal numbers”. i Bennett, M. A.; Berndt, B.C.; Boston, N. m.fl.. Surveys in number theory: Papers from the millennial conference on number theory. Natick, MA: A K Peters. Sid. 57–74. ISBN 1-56881-162-4.