Dominerade konvergenssatsen

Dominerade konvergenssatsen förkunnar att om är ett mått på en mängd , är en följd av funktioner som är integrerbara med avseende på , sådana att de antingen konvergerar nästan överallt till en funktion , vilket kan formuleras som att

för varje , och att , där är en integrerbar funktion, så är integrerbar och

[1]

Bevis

Satsen kan bevisas enligt följande. Antag först att

för varje . Låt Då är en -ändlig mängd, vilket är uppenbart om är ett -ändligt mått och eljest är en direkt följd av att är integrerbara funktioner. Sålunda kan skrivas som en union

där och .

Låt . Då är

Det följer att det för varje finns ett tal sådant att

gäller för varje och , alldenstund , när .

Låt . Då är

Ur antagandet om funktionerna följer att när . Sålunda finns ett tal sådant att

gäller för varje . Detta ger nu att

om och . Härav följer att

och sålunda gäller att

eftersom . Det är nu lätt att se att

vilket bevisar satsen.

För att visa satsen när konvergerar till nästan överallt, räcker det att visa att

för varje . Låt

Eftersom är integrerbar så är och eftersom nästan överallt så är . Det följer att . Enär , följer det att

för varje . Detta slutför beviset av satsen.

Referenser

  1. ^ Burkill, J.C. (1951). The Lebesgue integral. Cambridge University Press. sid. 41 

Media som används på denna webbplats

Question book-4.svg
Författare/Upphovsman: Tkgd2007, Licens: CC BY-SA 3.0
A new incarnation of Image:Question_book-3.svg, which was uploaded by user AzaToth. This file is available on the English version of Wikipedia under the filename en:Image:Question book-new.svg