Dimensionssatsen

Dimensionssatsen är en sats inom linjär algebra om det samband som finns mellan nollrummet och värderummet till en linjär avbildning och dess dimensioner:

Om ${\displaystyle \mathbb {U} }$ och ${\displaystyle \mathbb {V} }$ är två vektorrum och ${\displaystyle F:\mathbb {U} \rightarrow \mathbb {V} }$ är en linjär avbildning så gäller:

${\displaystyle \dim N(F)+\dim V(F)=\dim \mathbb {U} }$

Bevis

Antag att ${\displaystyle \dim \mathbb {U} =n}$, låt ${\displaystyle {\bar {u}}_{1},...,{\bar {u}}_{k}}$ vara en bas för ${\displaystyle N(F)}$ och fyll ut med ${\displaystyle {\bar {u}}_{k+1},...,{\bar {u}}_{n}}$ till en bas för ${\displaystyle \mathbb {U} }$.

• Om ${\displaystyle \dim N(F)=\dim \mathbb {U} =n\Leftrightarrow k=n}$ är ${\displaystyle V(F)=\{0\}}$ ty det enda som nås av ${\displaystyle F}$ är nollvektorn och ${\displaystyle \dim N(F)+\dim V(F)=n+0=n=\dim \mathbb {U} }$ och satsen stämmer.

• Om ${\displaystyle 1\leq \dim N(F)=k<n}$ gäller som vanligt att ${\displaystyle V(F)=\left[F({\bar {u}}_{1}),...,F({\bar {u}}_{n})\right]}$ men då ${\displaystyle F({\bar {u}}_{1})=...=F({\bar {u}}_{k})=0}$ innebär det att ${\displaystyle V(F)=\left[F({\bar {u}}_{k+1}),...,F({\bar {u}}_{n})\right]}$ där ${\displaystyle F({\bar {u}}_{k+1}),...,F({\bar {u}}_{n})}$ måste vara linjärt oberoende ty ${\displaystyle \lambda _{k+1}F({\bar {u}}_{k+1})+...+\lambda _{n}F({\bar {u}}_{n})=0\Leftrightarrow F(\lambda _{k+1}{\bar {u}}_{k+1}+...+\lambda _{n}{\bar {u}}_{n})=0\Leftrightarrow \lambda _{k+1}{\bar {u}}_{k+1}+...+\lambda _{n}{\bar {u}}_{n}=0\Leftrightarrow \lambda _{k+1}=...=\lambda _{n}=0}$ ty ${\displaystyle \lambda _{k+1}{\bar {u}}_{k+1}+...+\lambda _{n}{\bar {u}}_{n}\in N(F)}$ omm ${\displaystyle \lambda _{k+1}{\bar {u}}_{k+1}+...+\lambda _{n}{\bar {u}}_{n}=0}$ och ${\displaystyle {\bar {u}}_{k+1},...,{\bar {u}}_{n}}$ är alla ${\displaystyle \not =0}$ då de är basvektorer i ${\displaystyle \mathbb {U} }$ och således linjärt oberoende. Alltså utgör ${\displaystyle F({\bar {u}}_{k+1}),...,F({\bar {u}}_{n})}$ en bas för ${\displaystyle V(F)}$ och ${\displaystyle \dim N(F)+\dim V(F)=k+(n-k)=n=\dim \mathbb {U} }$ och satsen stämmer.

• Om ${\displaystyle \dim N(F)=0\Leftrightarrow k=0}$ gäller som vanligt att ${\displaystyle V(F)=\left[F({\bar {u}}_{1}),...,F({\bar {u}}_{n})\right]}$ där ${\displaystyle F({\bar {u}}_{1}),...,F({\bar {u}}_{n})}$ måste vara linjärt oberoende ty ${\displaystyle \lambda _{1}F({\bar {u}}_{1})+...+\lambda _{n}F({\bar {u}}_{n})=0\Leftrightarrow F(\lambda _{1}{\bar {u}}_{1}+...+\lambda _{n}{\bar {u}}_{n})=0\Leftrightarrow \lambda _{1}{\bar {u}}_{1}+...+\lambda _{n}{\bar {u}}_{n}=0\Leftrightarrow \lambda _{1}=...=\lambda _{n}=0}$ ty ${\displaystyle N(F)=\{0\}}$ och ${\displaystyle {\bar {u}}_{1},...,{\bar {u}}_{n}}$ är alla ${\displaystyle \not =0}$ då de är basvektorer i ${\displaystyle \mathbb {U} }$ och således linjärt oberoende. Alltså utgör ${\displaystyle F({\bar {u}}_{1}),...,F({\bar {u}}_{n})}$ en bas för ${\displaystyle V(F)}$ och ${\displaystyle \dim N(F)+\dim V(F)=0+n=n=\dim \mathbb {U} }$ och satsen stämmer.

Således har vi nu visat att satsen stämmer i samtliga tre fall.

Se även

• Värderum
• Nollrum

Referenser

• Janfalk, Ulf, Linjär Algebra, 2013, Matematiska institutionen, Linköpings universitet

Linjär algebra Grundläggande begrepp Skalär · Vektor · Noll · Ortogonalitet · Ekvationssystem · Rum · Linjärkombination · Inre produkt · Oberoende · Bas · Radrum · Kolonnrum · Nollrum · Gram-Schimdt · Egenvärde · Hölje · Linjäritet Vektoralgebra Kryssprodukt · Trippelprodukt Matriser Elementär · Block · Enhet · Determinant · Norm · Rang · Transformation · Rotation · Invers · Cramers regel · Trappstegsform · Spår · Transponat · Gausselimination · Symmetri · Addition Multilinjär algebra Geometrisk algebra · Yttre algebra · Bivektor · Multivektor · Tensor Konstruktioner Delrum · Dualrum · Funktionsrum · Kvotrum · Tensorprodukt Numerik Flyttal · Gles matris Kategori