Dihedral grupp

Den dihedrala gruppen är ett begrepp inom matematik, den betecknas ${\displaystyle D_{n}}$ och avser symmetrigruppen för en regelbunden polygon. Elementen i den dihedrala gruppen utgörs av permutationer som avbildar n-hörningens punkter på sig själva, under det att avståndet mellan alla punkter bevaras. Tillsammans med en binär operator i form av sammansättning av avbildningar, bildar mängden av alla sådana avbildningar en grupp. En dihedral grupp D_n har ordningen 2n, dvs antalet symmetriavbildningar är totalt 2n stycken (av denna anledning betecknas gruppen ibland D_2n).

Grupper är viktiga studieobjekt inom den abstrakta algebran och de dihedrala grupperna är de enklaste exemplen på grupper som inte är abelska grupper, eftersom D_n inte är kommutativ för n > 2 .

Gruppen D₁ är isomorf med ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ och ${\displaystyle D_{2}}$ är isomorf med Kleins fyrgrupp. Dessa är även unika i avseendet att de inte är delgrupper till de symmetriska grupperna S₁ respektive S₂. För n > 2 gäller att D_n är en delgrupp i S_n.

Definitioner

Det finns många sätt att definiera de dihedrala grupperna på, samtliga är ekvivalenta.

• D_n består av de 2n avbilningar som avbildar en regelbunden n-hörning på sig själv. Avbildningarna består av n rotationer och n speglingar.
• För n > 2 kan D_n ses som automorfigruppen, dvs alla avbildningar som bevarar bågar, för en graf bestående av endast en cykel med n noder.
• D_n, för n > 1, kan ses som gruppen med ordning 2n som genereras av två element t och s som uppfyller:

${\displaystyle s^{n}=1~~~~t^{2}=1~~~~tst^{-1}=s^{-1}.}$

Exempel: En liksidig triangel

Symmetrilinjer för en regelbunden triangel.

Till exempel är den dihedrala gruppen D₃ en abstrakt beskrivning över de sex olika sätt som en liksidig triangel kan avbildas på sig själv. Triangeln kan roteras på tre sätt: 0, 120 och 240 grader. Vidare finns tre symmetrilinjer i vilka triangeln kan speglas, så gruppen har ordning 6. Om R_k är rotation med ${\displaystyle k{\frac {2\pi }{3}}}$ radianer för ${\displaystyle k=0,1,2}$ och S_k är spegling i de olika symmetrilinjerna kan man ställa upp följande Cayleytabell för gruppen:

Exempelvis är ${\displaystyle S_{0}S_{1}=R_{2}}$, dvs spegling i symmetrilinje 1 följt av spegling i symmetrilinje 0 är likvärdigt med att rotera triangeln 240 grader.

Elementen i gruppen kan ses som permutationer av triangelns hörn. Om hörnen betecknas med 1, 2 och 3, kan permutationerna kan uttryckas på cykelform som:

${\displaystyle {\begin{matrix}R_{0}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}&R_{1}={\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}&R_{2}={\begin{pmatrix}1&3&2\end{pmatrix}}\\S_{0}={\begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix}}&S_{1}={\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}&S_{2}={\begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix}}\end{matrix}}}$

Man ser då exempelvis att:

${\displaystyle S_{1}S_{2}={\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}=R_{1}}$

Av faktumet att den symmetriska gruppen ${\displaystyle S_{3}}$ har ${\displaystyle 3!=6}$ element och att ${\displaystyle D_{3}}$ är en undergrupp till ${\displaystyle S_{3}}$ och har 6 element ser man att ${\displaystyle S_{3}}$ och ${\displaystyle D_{3}}$ är samma grupp.

Matrisrepresentation

Om man fixerar centrum av n-hörningen vid origo kan man se elementen i den dihedrala gruppen som linjära avbildningar av planet. Man kan då representera elementen i gruppen som matriser, ett exempel på en grupprepresentation.

Exempelvis kan gruppen ${\displaystyle D_{4}}$ representeras av följande matriser under multiplikation:

${\displaystyle {\begin{matrix}R_{0}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}&R_{1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}&R_{2}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )}&R_{3}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}\\[1em]S_{0}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )}&S_{1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}&S_{2}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}&S_{3}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}.\end{matrix}}}$

I allmänhet kan den dihedrala gruppen ${\displaystyle D_{n}}$ uttryckas som matriserna:

${\displaystyle R_{k}={\begin{pmatrix}\cos 2\pi k/n&-\sin 2\pi k/n\\\sin 2\pi k/n&\cos 2\pi k/n\end{pmatrix}}~~S_{k}={\begin{pmatrix}\cos 2\pi k/n&\sin 2\pi k/n\\\sin 2\pi k/n&-\cos 2\pi k/n\end{pmatrix}}}$

för ${\displaystyle k=1,2,...,n}$.

Referenser

• Rotman, Joseph (1995). An Introduction to the Theory of Groups. Springer Verlag. sid. 68. ISBN 0-387-94285-8 
• Dummit, David; Richard Foote (2004). Abstract Algebra. John Wiley and Sons. ISBN 0-471-43334-9 
• Svensson, Per-Anders (2001). Abstrakt Algebra. Studentlitteratur. ISBN 978-91-44-01262-9