Digammafunktionen

Digammafunktionen är en speciell funktion som definieras som gammafunktionens logaritmiska derivata:

${\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.}$

Relation till harmoniska tal

Digammafunktionen är relaterad till harmoniska talen enligt

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma \!}$

där H_n är set n:te harmoniska talet, och γ är Eulers konstant.

Integralrepresentation

Om reella delen av ${\displaystyle x}$ är positiv kan digammafunktionen skrivas som integralerna

${\displaystyle \psi (x)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-xt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt}$

och

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{s}}{1-x}}dx.}$

Serierepresentation

Det finns ett flertal oändliga serier för digammafunktionen:

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z}{n(n+z)}}\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots }$

Taylorserien är

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }\zeta (k+1)\;(-z)^{k}}$,

som konvergerar för |z|<1. En annan serie är

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{s \choose k}.}$

Reflektionsformel

Digammfunktionen satisfierar reflektionsformeln

${\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \,\!\cot {\left(\pi x\right)}.}$

Gauss digammasats

För positiva heltal m och k med m < k gäller

${\displaystyle \psi \left({\frac {m}{k}}\right)=-\gamma -\ln(2k)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {m\pi }{k}}\right)+2\sum _{n=1}^{\lfloor (k-1)/2\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nm}{k}}\right)\ln \left(\sin \left({\frac {n\pi }{k}}\right)\right).}$

Beräkning och approximering

Digammafunktionen kan approximeras som

${\displaystyle \psi (x)=\ln(x)-{\frac {1}{2x}}-{\frac {1}{12x^{2}}}+{\frac {1}{120x^{4}}}-{\frac {1}{252x^{6}}}+{\frac {1}{240x^{8}}}-{\frac {5}{660x^{10}}}+{\frac {691}{32760x^{12}}}-{\frac {1}{12x^{14}}}+O\left({\frac {1}{x^{16}}}\right)}$

som är början av dess asymptotiska expansion. Hela expansionen ges av

${\displaystyle \psi (x)=\ln(x)-{\frac {1}{2x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-2n)}{x^{2n}}}=\ln(x)-{\frac {1}{2x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}}{2n\,x^{2n}}}}$

där ${\displaystyle B_{k}}$ är det k-te Bernoullitalet och ${\displaystyle \zeta }$ är Riemanns zetafunktion.

Speciella värden

${\displaystyle \psi (1)=-\gamma \,\!}$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{2}}\right)=-2\ln {2}-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{3}}\right)=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln {3}-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{4}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln {2}-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{6}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {3}}-2\ln {2}-{\frac {3}{2}}\ln(3)-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{8}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left\{\pi +\ln(2+{\sqrt {2}})-\ln(2-{\sqrt {2}})\right\}-\gamma }$

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Digamma function, 15 november 2013.

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Digammafunktionen.
  Bilder & media