Differentierbarhet

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2023-07) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Differentierbarhet är inom matematisk analys en lokal egenskap hos en funktion som generaliserar begreppet deriverbarhet till flera dimensioner. Ur differentierbarhet följer kontinuitet och kedjeregeln.

Definition

Funktionen ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ säges vara differentierbar i punkten ${\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}}$ om och endast om det existerar en punkt ${\displaystyle \mathbf {A} }$ i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ och en funktion ${\displaystyle \rho :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ sådana att

${\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-f(\mathbf {a} )=\mathbf {A} \cdot \mathbf {h} +|\mathbf {h} |\rho (\mathbf {h} )}$

och

${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \rightarrow \mathbf {0} }\rho (\mathbf {h} )=0}$

En funktion säges vara differentierbar på en mängd M om funktionen är differentierbar i alla punkter i M.

Det kan observeras att definitionen av differentierbarhet är ekvivalent med definitionen för deriverbarhet om f är en funktion av bara en variabel. För vektorvärda funktioner betraktas komponentfunktionernas differentierbarhet.

Man kan visa ${\displaystyle A_{i}={\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial x_{i}}}}$ i punkten ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} }$ liksom att existensen av kontinuerliga partiella derivator för en funktion implicerar differentierbarhet.

Liksom ekvationen för tangenten till funktionen kan utläsas ur definitionen av deriverbarhet beskriver högerledet i definitionen ovan tangentplanet till funktionen i punkten ${\displaystyle \mathbf {a} }$.

Att en funktion är differentierbar innebär att den är deriverbar i alla riktningar. Grafiskt tolkat betyder det att tangentplanet ligger nära funktionsytan. Alla kontinuerliga funktioner är således inte differentierbara.