Differential

För den fordonstekniska delen, se Differentialväxel, Differentialbroms, Torsendifferential

Differential är en term inom matematisk analys för en infinitesimal - oändligt liten - ändring i en funktion.

Definition i Rⁿ

Låt ${\displaystyle f\colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ vara en funktion och ${\displaystyle U}$ en öppen delmängd i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Funktionen ${\displaystyle f}$ säges vara differentierbar^[1] i ${\displaystyle a\in U}$ om det existerar en linjär avbildning ${\displaystyle L}$ sådan att

${\displaystyle \lim _{|h|\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)-L(h)}{|h|}}=0\ }$.

Den linjära avbildningen ${\displaystyle L}$ ovan bestäms entydigt av gränsvärdet och kallas differentialen till ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle a}$ samt betecknas ${\displaystyle df_{a}}$. Differentialen blir således en linjär approximation till differensen ${\displaystyle \Delta _{a}f(h)=f(a+h)-f(a)}$ för ${\displaystyle h}$ nära noll, eller omformulerat, ${\displaystyle f(a+h)\approx f(a)+df_{a}(h)}$. Matrisen hörande till differentialen betecknas ${\displaystyle f'(a)}$ och kallas funktionalmatrisen eller jacobimatrisen.

I fallet ${\displaystyle m=n=1}$, så sammanfaller ${\displaystyle f'(a)}$ med derivatan i ${\displaystyle a}$, och i fallet ${\displaystyle m=1,n>1}$, så betecknas vanligen ${\displaystyle f'(a)}$ med ${\displaystyle \nabla f(a)}$.

Differential och riktningsderivata

Riktningsderivatan, ${\displaystyle D_{v}f(a)}$, av ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle a}$ utmed riktningen ${\displaystyle v\neq 0}$ ges av gränsvärdet

${\displaystyle D_{v}f(a)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(a+tv)-f(a)}{t}}}$.

En räkning ger,

${\displaystyle D_{v}f(a)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(a+tv)-f(a)}{t}}=\lim _{t\to 0}{\frac {f(a+tv)-f(a)-df_{a}(tv)+df_{a}(tv)}{t}}=}$

=${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {f(a+tv)-f(a)-df_{a}(tv)}{t}}+df_{a}(v)=0+df_{a}(v)=df_{a}(v)}$

varför ${\displaystyle D_{v}f(a)=df_{a}(v)}$. Riktningsderivatan kan sålunda uttryckas med differentialen; speciellt betyder detta att riktningsderivatan är linjär i ${\displaystyle v}$, givet konventionen ${\displaystyle D_{0}=0}$.

Klassisk framställan medelst Leibniz notation

Betrakta fallet ${\displaystyle m=n=1}$ och beteckna med ${\displaystyle x}$ identitetsfunktionen ${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$. Eftersom derivatan av ${\displaystyle x}$ är 1, så är dess differential ${\displaystyle dx_{a}(h)=1\cdot h=h}$. Om ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ är en differentierbar funktion, så gäller enligt definitionen ovan ${\displaystyle df_{a}(h)=f'(a)h}$ d.v.s. ${\displaystyle df_{a}(h)=f'(a)dx_{a}(h)}$. Om nu Leibniz notation, ${\displaystyle f'(a)=df/dx}$, nyttjas och index samt variabeln ${\displaystyle h}$ undertrycks, så erhålls, tillika ges mening åt, den klassiska formeln

${\displaystyle df={\frac {df}{dx}}dx}$.

Analogt fås i fallet ${\displaystyle m=1,n>1}$ den klassiska formeln

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\ldots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}dx_{n}}$.

Räkneexempel: Approximation

Låt ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ges av ${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$. Differentialen av ${\displaystyle f}$ vid ${\displaystyle a=\pi }$ ges då av multiplikation med ${\displaystyle f'(\pi )=\cos(\pi )=-1}$. Ett närmrevärde till ${\displaystyle f(3)}$ är då med ${\displaystyle h=3-\pi \approx -0.14}$ och ${\displaystyle a=\pi }$:

${\displaystyle f(3)=f(\pi +(3-\pi ))=f(a+h)\approx f(a)+df_{a}(h)\approx f(\pi )+(-1)\cdot (-0.14)=0.14.}$.

Anm. Med fem decimalers noggrannhet är ${\displaystyle f(3)\approx 0.14112}$.

Referenser