Delignekohomologi

Inom matematiken är Delignekohomologi hyperkohomologin av Delignekomplexet av en komplex mångfald. Den introducerades av Pierre Deligne i ett opublicerat arbete runt 1972 som en kohomologiteori för algebraiska varieteter som innehåller både den ordinära kohomologin och intermediära Jacobianer.

För introduktioner till Delignekohomologi, se Brylinski (2008, sektion 1.5), Esnault & Viehweg (1988) och Gomi (2009, sektion 2).

Definition

Det analytiska Delignekomplexet Z(p)_{D, an} över en komplex analytisk mångfald X är

${\displaystyle 0\rightarrow \mathbf {Z} (p)\rightarrow \Omega _{X}^{0}\rightarrow \Omega _{X}^{1}\rightarrow \cdots \rightarrow \Omega _{X}^{p-1}\rightarrow 0\rightarrow \dots }$

där Z(p) = (2π i)^pZ. Beroende på sammanhanget är ${\displaystyle \Omega _{X}^{*}}$ antingen komplexet av släta (d.v.s. C^∞) differentialformer eller analytiska former Delignekohomologin Mall:SubSup(X,Z(p)) är den q-te hyperkohomologin av Delignekomplexet.

Egenskaper

Delignekohomologigrupperna Mall:SubSup(X,Z(p)) kan beskrivas geometrisk, speciellt i låga grader. För p = 0 är den enligt definition identisk med den q-te singulära kohomologigruppen (med Z-koefficienter). För q = 2 och p = 1 är den isomorfisk till gruppen av isomorfiklasser av släta (eller analytiska, beroende på sammanhanget) principala C^×-knippen över X. För p = q = 2 är den gruppen av isomorfiklasser av C^×-knippen med konnektion. För q = 3 och p = 2 eller 3 kan man ge beskrivningar med hjälp av gerben (Brylinski (2008)). Detta har generaliserats till beskrivningar i högre grader med hjälp av itererade klassificerande rum och konnektioner över dem (Gajer (1997)).

Användningar

Delignekohomologi används till att formulera Beilinsons förmodanden om speciella värden av L-funktioner.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Deligne cohomology, 20 juli 2014.

• Brylinski, Jean-Luc (2008) [1993], Loop spaces, characteristic classes and geometric quantization, Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi:10.1007/978-0-8176-4731-5, ISBN 978-0-8176-4730-8 
• Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1988), ”Deligne-Beĭlinson cohomology”, Beĭlinson's conjectures on special values of L-functions, Perspect. Math., "4", Boston, MA: Academic Press, s. 43–91, ISBN 978-0-12-581120-0, http://www.uni-due.de/~mat903/preprints/ec/deligne_beilinson.pdf 
• Gajer, Pawel (1997), ”Geometry of Deligne cohomology”, Inventiones Mathematicae 127 (1): 155–207, doi:10.1007/s002220050118, ISSN 0020-9910 
• Gomi, Kiyonori (2009), ”Projective unitary representations of smooth Deligne cohomology groups”, Journal of Geometry and Physics 59 (9): 1339–1356, doi:10.1016/j.geomphys.2009.06.012, ISSN 0393-0440