Dedekinds etafunktion

Inom matematiken är Dedekinds etafunktion, uppkallad efter Richard Dedekind, en viss modulär form av vikt 1/2. För komplexa tal τ med positiv imaginär del låtq = exp(2πiτ). Då definieras Dedekinds etafunktion som

${\displaystyle \eta (\tau )=e^{\frac {\pi {\rm {{i}\tau }}}{12}}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}).}$

Etafunktionen är analytisk i övre planhalvan men kan inte fortsättas analytiskt utanför den.

(c) Linas from en.wikipedia.org, CC BY-SA 3.0

Etafunktionen satisfierar funktionalekvationerna

${\displaystyle \eta (\tau +1)=e^{\frac {\pi {\rm {i}}}{12}}\eta (\tau ),\,}$

${\displaystyle \eta (-{\tfrac {1}{\tau }})={\sqrt {-{\rm {i}}\tau }}\eta (\tau ).\,}$

Mer generellt, antag att a, b, c, d är heltal med ad − bc = 1, sådana att

${\displaystyle \tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}}$

är en transformation i modulära gruppen. Vi kan anta att antingen c > 0 eller c = 0 och d = 1. Då är

${\displaystyle \eta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\epsilon (a,b,c,d)(c\tau +d)^{\frac {1}{2}}\eta (\tau ),}$

där

${\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)=e^{\frac {b{\rm {i}}\pi }{12}}\quad (c=0,d=1);}$

${\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)=e^{{\rm {i}}\pi [{\frac {a+d}{12c}}-s(d,c)-{\frac {1}{4}}]}\quad (c>0).}$

Här betecknar ${\displaystyle s(h,k)\,}$ Dedekindsumman

${\displaystyle s(h,k)=\sum _{n=1}^{k-1}{\frac {n}{k}}\left({\frac {hn}{k}}-\left\lfloor {\frac {hn}{k}}\right\rfloor -{\frac {1}{2}}\right).}$

Speciella värden

${\displaystyle \eta (i)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \eta \left({\tfrac {1}{2}}i\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{7/8}\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \eta (2i)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{{11}/8}\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \eta (4i)={\frac {{\sqrt[{4}]{-1+{\sqrt {2}}}}\;\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{{29}/16}\pi ^{3/4}}}}$

Se även

• Chowla–Selbergs formel
• Weierstrass elliptiska funktion
• Heltalspartition
• Supersträngteori

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Dedekind eta function, 7 mars 2014.

Källor

• Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 41 (1990), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97127-0 Se kapitel 3.
• Neil Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 97 (1993), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97966-2