Commandinos sats

Tetraederns fyra medianer skär varandra i samma punkt.

Figur 2. Denna figur avbildar en regelbunden tetraeder där höjderna och medianerna sammanfaller.

Commandinos sats är en sats inom euklidisk geometri som säger att medianderna i en tetraeder skär varandra i en punkt som delar medianerna i förhållandet 3:1 med den längre delen mot tetraederhörnet.

Den är uppkallad efter den italienske matematikern Federico Commandino (1509-1575) som publicerade förhållandet i sitt verk Liber de centro gravitatis solidorum 1565.^[1][2]

Punkten sammanfaller med en solid tetraeders tyngdpunkt.

Bevis

Betrakta en tetraeder med de fyra hörnen ${\displaystyle E_{1}}$, ${\displaystyle E_{2}}$, ${\displaystyle E_{3}}$ och ${\displaystyle E_{4}}$. Låt ${\displaystyle K_{1}}$ vara mittpunkten på tetraederkanten ${\displaystyle {\overline {E_{3}E_{4}}}}$ och konstruera triangeln i figur 2. ${\displaystyle {\overline {E_{1}K_{2}}}}$ är då medianen i tetraedersidan ${\displaystyle \triangle E_{1}E_{3}E_{4}}$ från ${\displaystyle E_{1}}$ och likaledes är ${\displaystyle {\overline {E_{2}K_{1}}}}$ medianen i tetraedersidan ${\displaystyle \triangle E_{2}E_{3}E_{4}}$ från ${\displaystyle E_{2}}$. Dessa tetraedersidors tyngdpunkter ligger i ${\displaystyle F_{2}}$ respektive ${\displaystyle F_{1}}$. Linjerna ${\displaystyle {\overline {E_{1}F_{1}}}}$ och ${\displaystyle {\overline {E_{2}F_{2}}}}$ är tetraederns medianer från hörnen ${\displaystyle E_{1}}$ respektive ${\displaystyle E_{2}}$. De skär varandra i punkten ${\displaystyle M}$. ${\displaystyle F_{1}}$ delar ${\displaystyle {\overline {E_{2}K_{1}}}}$ i förhållandet 2:1 och ${\displaystyle F_{2}}$ delar ${\displaystyle {\overline {E_{1}K_{2}}}}$ på samma sätt. Vi kan sålunda konstatera ur vår figur att:

${\displaystyle |\triangle E_{2}F_{1}M|=2\cdot |\triangle K_{1}F_{1}M|}$  (1)

${\displaystyle |\triangle E_{1}F_{2}M|=2\cdot |\triangle K_{1}F_{2}M|}$  (2)

${\displaystyle |\triangle E_{1}E_{2}F_{1}|=2\cdot |\triangle E_{1}K_{1}F_{1}|}$  (3) och

${\displaystyle |\triangle E_{2}E_{1}F_{2}|=2\cdot |\triangle E_{2}K_{1}F_{2}|}$  (4)

Ur figuren och sedan med hjälp av (2) finner vi:

${\displaystyle |\triangle E_{2}E_{1}F_{2}|=|\triangle E_{1}F_{2}M|+|\triangle E_{1}E_{2}M|=2\cdot |\triangle K_{1}F_{2}M|+|\triangle E_{1}E_{2}M|}$  (5)

Vidare, ur figuren och sedan med hjälp av (1):

${\displaystyle |\triangle E_{2}K_{1}F_{2}|=|\triangle E_{2}F_{1}M|+|\triangle K_{1}F_{1}M|+|\triangle K_{1}F_{2}M|=3\cdot |\triangle K_{1}F_{1}M|+|\triangle K_{1}F_{2}M|}$  (6)

Med hjälp av (4) kan vi nu slå samman (5) och (6) till:

${\displaystyle 2\cdot |\triangle K_{1}F_{2}M|+|\triangle E_{1}E_{2}M|=2\cdot (3\cdot |\triangle K_{1}F_{1}M|+|\triangle K_{1}F_{2}M|)=}$${\displaystyle =6\cdot |\triangle K_{1}F_{1}M|+2\cdot |\triangle K_{1}F_{2}M|\Leftrightarrow }$

${\displaystyle |\triangle E_{1}E_{2}M|=6\cdot |\triangle K_{1}F_{1}M|}$  (7)

På samma sätt som för (5) får vi ur figuren och sedan med hjälp av (2) att:

${\displaystyle |\triangle E_{1}E_{2}F_{1}|=|\triangle E_{2}F_{1}M|+|\triangle E_{1}E_{2}M|=2\cdot |\triangle K_{1}F_{1}M|+|\triangle E_{1}E_{2}M|}$  (8)

Vidare, analogt med (6), ur figuren och sedan med hjälp av (1):

${\displaystyle |\triangle E_{1}K_{1}F_{1}|=|\triangle E_{1}F_{2}M|+|\triangle K_{1}F_{2}M|+|\triangle K_{1}F_{1}M|=3\cdot |\triangle K_{1}F_{2}M|+|\triangle K_{1}F_{1}M|}$  (9)

Och analogt med (7) finner vi med hjälp av (3) att:

${\displaystyle 2\cdot |\triangle K_{1}F_{1}M|+|\triangle E_{1}E_{2}M|=2\cdot (3\cdot |\triangle K_{1}F_{2}M|+|\triangle K_{1}F_{1}M|)=}$

${\displaystyle =6\cdot |\triangle K_{1}F_{2}M|+2\cdot |\triangle K_{1}F_{1}M|\Leftrightarrow }$

${\displaystyle |\triangle E_{1}E_{2}M|=6\cdot |\triangle K_{1}F_{2}M|}$  (10)

(7) och (10) ger oss nu:

${\displaystyle 6\cdot |\triangle K_{1}F_{1}M|=|\triangle E_{1}E_{2}M|=6\cdot |\triangle K_{1}F_{2}M|\Leftrightarrow }$

${\displaystyle |\triangle K_{1}F_{1}M|=|\triangle K_{1}F_{2}M|}$  (11)

Och, ur figuren, sedan med (2) och till slut med (11):

${\displaystyle |\triangle E_{1}K_{1}M|=|\triangle E_{1}F_{2}M|+|\triangle K_{1}F_{2}M|=3\cdot |\triangle K_{1}F_{2}M|=3\cdot |\triangle K_{1}F_{1}M|}$

Men ${\displaystyle \triangle E_{1}K_{1}M}$ och ${\displaystyle \triangle K_{1}F_{1}M}$ har samma höjd i ${\displaystyle K_{1}}$ så basen ${\displaystyle {\overline {E_{1}M}}}$ måste sålunda vara tre gånger så lång som ${\displaystyle {\overline {F_{1}M}}}$ och ${\displaystyle M}$ delar alltså ${\displaystyle {\overline {E_{1}F_{1}}}}$ i förhållandet 3:1. Och på samma sätt kan vi visa att ${\displaystyle M}$ även delar ${\displaystyle {\overline {E_{2}F_{2}}}}$ i förhållandet 3:1. Genom att sedan exempelvis byta ut ${\displaystyle E_{2}}$ mot ${\displaystyle E_{3}}$ och sedan mot ${\displaystyle E_{4}}$ (och såklart byts då även ${\displaystyle K_{1}}$ och ${\displaystyle F_{2}}$ ut) visar man att alla medianerna skär varandra i samma punkt och att alla medianerna delas i förhållandet 3:1 av denna punkt.

Quod erat demonstrandum!

Referenser