Cayleys sats

Cayleys sats är en matematisk sats inom gruppteori uppkallad efter Arthur Cayley som säger att varje grupp är isomorf med någon permutationsgrupp.^[1] En följd av Cayleys sats är att allt som gäller för permutationsgrupper gäller för grupper i allmänhet.

Bevis

Beviset för Cayleys sats går ut på att det finns en undergrupp till den symmetriska gruppen på ${\displaystyle G}$, betecknad ${\displaystyle S_{G}}$, som är isomorf med ${\displaystyle G}$.

Tag ett ${\displaystyle a\in G}$ och definiera en avbildning ${\displaystyle f_{a}:G\to G}$ som ${\displaystyle f_{a}(g)=ag}$ för alla ${\displaystyle g\in G}$. Bilda ${\displaystyle H=\{f_{a}:a\in G\}}$, som är en delmängd till ${\displaystyle S_{G}}$. ${\displaystyle H}$ är en grupp med funktionssammansättning som gruppoperation:

${\displaystyle f_{a}f_{b}(g)=f_{a}(f_{b}(g))=f_{a}(bg)=abg=f_{ab}(g)}$

dvs, ${\displaystyle f_{a}f_{b}=f_{ab}}$. Det neutrala elementet ${\displaystyle \varepsilon \in S_{G}}$ ligger i ${\displaystyle H}$ eftersom ${\displaystyle \varepsilon =f_{1_{G}}}$. Inversen till ${\displaystyle f_{a}}$ ges av ${\displaystyle f_{a^{-1}}}$. Detta ger att ${\displaystyle H}$ är en grupp, specifikt en delgrupp till ${\displaystyle S_{G}}$.

Gruppen ${\displaystyle H}$ är i själva verket isomorf med ${\displaystyle G}$, ty ${\displaystyle \phi :G\to H}$ definierad som ${\displaystyle \phi (a)=f_{a}}$ är en isomorfi:

${\displaystyle \phi }$ är injektiv, ty om ${\displaystyle \phi (a)=\phi (b)}$ är ${\displaystyle f_{a}=f_{b}}$ som ger ${\displaystyle f_{a}(1_{G})=f_{b}(1_{G})\Leftrightarrow a=b}$.

Att ${\displaystyle \phi }$ är surjektiv följer ur definitionen.

Att ${\displaystyle \phi }$ är en grupphomomorfi, dvs att ${\displaystyle \phi (a)\phi (b)=\phi (ab)}$ följer ur ${\displaystyle f_{a}f_{b}=f_{ab}}$.

De tre egenskaperna ovan ger att ${\displaystyle \phi }$ är en isomorfi. Alltså är gruppen ${\displaystyle G}$ isomorf med permutationsgruppen ${\displaystyle H}$, vilket bevisar Cayleys sats.

Generalisering

Cayleys sats kan generaliseras. Om ${\displaystyle H}$ är en delgrupp till ${\displaystyle G}$ med index ${\displaystyle [G:H]=n}$ så finns en homomorfi ${\displaystyle \varphi :G\to S_{n}}$ där ${\displaystyle S_{n}}$ är den symmetriska gruppen med ${\displaystyle n}$ element sådan att ${\displaystyle \phi }$:s kärna är en delgrupp till ${\displaystyle H}$. Med ${\displaystyle H=\{1\}}$ fås den ursprungliga satsen.

Bevis

Låt ${\displaystyle a}$ vara ett element i ${\displaystyle G}$ och låt ${\displaystyle X}$ vara mängden av vänstersidoklasser till ${\displaystyle H}$ i ${\displaystyle G}$. Definiera en funktion ${\displaystyle \varphi _{a}:X\to X}$ genom

${\displaystyle \varphi _{a}(g)=agH}$

för alla ${\displaystyle g\in G}$. Funktionen ${\displaystyle \varphi _{a}}$ är då en permutation av ${\displaystyle X}$ och avbildningen ${\displaystyle \varphi :X\to S_{X}}$ definierad genom

${\displaystyle \varphi (a)=\varphi _{a}}$

är en homomorfi, då det gäller att

${\displaystyle \varphi (ab)=\varphi _{ab}=\varphi _{a}\circ \varphi _{b}=\varphi (a)\varphi (b).}$

Gruppen ${\displaystyle S_{x}}$ är isomorf med ${\displaystyle S_{n}}$, då vi från förutsättningarna vet att ${\displaystyle X}$ har ${\displaystyle n}$ element. Alltså är avbildningen en homomorfi.

Låt nu specifikt ${\displaystyle a}$ vara ett element i kärnan till ${\displaystyle \varphi }$. Då är ${\displaystyle agH=gH}$ för alla ${\displaystyle g}$, och speciellt är ${\displaystyle aH=H}$ vilket ger att ${\displaystyle a\in H}$. Alltså gäller att ${\displaystyle \phi }$:s kärna är en delgrupp till ${\displaystyle H}$, vilket skulle visas.

Se även

• Yonedas lemma, en generalisering av Cayleys sats i kategoriteori.

Referenser

Noter

Tryckta källor

• Svensson, Per-Anders (2001). Abstrakt Algebra. Studentlitteratur. ISBN 91-44-01262-4 
• Rotman, Joseph (1995). An Introduction to the Theory of Groups. Springer Verlag. ISBN 3-540-94285-8