Cauchys uppskattning

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2011-09) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Cauchys uppskattning är ett sätt att uppskatta n:te derivatan av en komplexvärd funktion. Den bygger på Cauchys integralformel.

${\displaystyle |f^{n}(z_{0})|\leq {\frac {n!}{r^{n}}}\max _{|w-z_{0}|=r}|f(w)|}$

Bevis

${\displaystyle \left|{\frac {f^{n}(z_{0})}{n!}}\right|=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w-z_{0}|=r}{\frac {f(w)}{\left(w-z_{0}\right)^{n+1}}}dw\right|\leq {\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{r^{n+1}}}\max _{|w-z_{0}|=r}|f(w)|2\pi r={\frac {1}{r^{n}}}\max _{|w-z_{0}|=r}|f(w)|}$

Första likheten kommer ifrån Cauchys integralformel och olikheten från en form av triangelolikhet för kurvintegraler som tar hänsyn till kurvans längd (2πr i detta fall):

${\displaystyle \left|\int _{\gamma }f(z)dz\right|\leq \sup |f(z)||\gamma |:}$

ty om kurvan γ är en parametrisering av kurvan på intervallet [a, b], dvs ändpunkterna är γ(a) och γ(b):

${\displaystyle \left|\int _{\gamma }f(z)dz\right|=\left|\int _{a}^{b}f({\gamma (t)}){\frac {d\gamma (t)}{dt}}dt\right|\leq \sup |f(z)|\int _{a}^{b}\left|{\frac {\gamma (t)}{dt}}\right|dt\leq \sup |f(z)||\gamma |}$

Se även

• Cauchys integralformel
• Komplex analys