Cauchys integralformel

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2022-09) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Cauchys integralformel, uppkallad efter Augustin Louis Cauchy, är en viktig matematisk formel inom komplex analys. Beviset för formeln, Cauchys integralsats, formuleras vanligtvis som följer: Låt f vara en analytisk funktion i det slutna område som definieras av en sluten kurva C som genomlöps i positiv riktning. För varje inre punkt z₀ i denna mängd gäller då att:

${\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{C}{\frac {f(z)dz}{z-z_{0}}}}$

Detta resultat är Cauchys integralsats.

Beviset av satsen bygger på att värdet av integralen är invariant vid en deformation av integrationskonturen så länge integranden är analytisk i det slutna området mellan den ursprungliga och den deformerade konturen. Genom att utnyttja detta faktum för att kontinuerligt deformera C till en infinitesimal cirkel runt z₀ kan man sedan genom ett gränsvärdesargument visa satsen ovan.

Satsen kan generaliseras till:

${\displaystyle f^{(n)}(z_{0})={\frac {n!}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{C}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}}dz}$

där vänsterledet betecknar n:te derivatan av f. Denna generalisering kan användas till att uttrycka den n:te termen i en serieutveckling i form av en integral.