Catalantal

Catalantalen, vilka utgör en talföljd som börjar

C₀, C₁, C₂, C₃, C₄,... = 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324 …

Följden är uppkallad efter den belgiska matematikern Eugène Charles Catalan (1814–1894). Catalantalen har visats ange antalen för en mycket stor uppsättning olika kombinatoriskt intressanta familjer av mängder.

Algebraiskt kan catalantalen definieras genom

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{(n+1)}}\;{2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n+1)!\,n!}}\,}$ (där ! står för fakultetsfunktionen och ${\displaystyle {2n \choose n}\,}$ är en binomialkoefficient).

Catalantalen kan också beskrivas rekursivt:

${\displaystyle C_{0}=1~~C_{n+1}=\sum _{i=0}^{n}C_{i}C_{n-i}}$

eller:

${\displaystyle C_{0}=1~~C_{n+1}={\frac {2(2n+1)}{n+2}}C_{n}.}$

I. ${\displaystyle C_{n}}$ är antalet monotona vägar genom ett n × n-rutnät av kvadrater som inte går ovanför diagonalen i rutnätet. En monoton väg är en väg som börjar i nedre vänstra hörnet och rör sig upp till övre högra hörnet, genom att i varje steg antingen röra sig uppåt eller åt höger.

II. ${\displaystyle C_{n}}$ är antalet sätt en konvex polygon med ${\displaystyle n+2}$ sidor kan delas in i trianglar genom att dra linjer mellan hörn.

III. Det antal permutationer av talen: 1,2.....n, som kan åstadkommas med hjälp av en stack är lika med ${\displaystyle C_{n}}$. Med beteckningarna S, för att stacka ett tal och X, för exit av talet, får man om n = 3 en permutation med exempelvis exekveringssträngen: SXSSXX. Antalet sådana strängar är ${\displaystyle {6 \choose 3}=20}$. Vissa av dessa strängar är otillåtna, exempelvis SXSXXS; Om stacken är tom kan operationen X inte utföras. Om man fram till och med den position i strängen, där antalet X överskrider antalet S, substituerar S och X mot varandra, får man här sekvensen: XSXSSS, som således innehåller 4 stycken S och 2 stycken X. Generellt fås n + 1 stycken S och n - 1 stycken X. Antalet otillåtna strängar blir då ${\displaystyle {6 \choose 2}=15}$. Alltså är antalet tillåtna sekvenser ${\displaystyle 20-15=5=C_{3}}$. Generellt får man således att ${\displaystyle C_{n}={2n \choose n}-{2n \choose {n-1}}}$.

• Donald Knuth, The Art of Computer Programming, Fundamental Algorithms, volume 1, 1973.

• Wikimedia Commons har media som rör Catalantal.
  Bilder & media