Butterworthfilter

Butterworthfilter av upp till femte ordningen.

Butterworthfilter är inom elektronik och signalbehandling ett filter som är designat för att ge så lite rippel i passbandet som möjligt, även benämnt maximally-flat-magnitude (MFM) filter. Det beskrevs först av Stephen Butterworth (1885–1958).

De tre första ordningarnas normaliserade polynom ser ut som följer:

${\displaystyle n=1;\quad s+1}$
${\displaystyle n=2;\quad s^{2}+1.414s+1}$
${\displaystyle n=3;\quad (s+1)(s^{2}+s+1)}$

Magnituden hos ett Butterworth lågpassfilter är:

${\displaystyle |H|^{2}={\frac {1}{1+({\frac {w}{w_{0}}})^{2n}}}}$

där n står för ordningen hos filtret.

I bilden till höger ser man tydligt att brantheten hos filtret är -20dB/dekad för första ordningens filter och -40dB/dekad för andra ordningens filter och så vidare.

Exempel

En koppling för realisering av andra ordningens Butterworth-filter

Ett andra ordningens lågpassfilters överföringsfunktion kan allmänt skrivas:

${\displaystyle H(s)={\frac {A_{0}}{1+a_{i}s+b_{i}s^{2}}}}$

där Ao är filtrets dc-förstärkning som vi normaliserar till ett (vilket är samma som att Ra är borttaget i artikeln om bikvadratiska filter).

Om vi jämför med polynomen ovan får vi att, för n=2:

${\displaystyle a_{i}={\sqrt {2}}\ }$

och

${\displaystyle b_{i}=1\ }$.

Kvalitetsfaktorn Q är allmänt:

${\displaystyle Q={\frac {\sqrt {b_{i}}}{a_{i}}}}$

Kopplingen bredvid realiserar:

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1+w_{0}C_{1}(R_{1}+R_{2})s+w_{0}^{2}R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}s^{2}}}}$

där alltså

${\displaystyle a_{1}=w_{0}C_{1}(R1+R2)\ }$

och

${\displaystyle b_{1}=w_{0}^{2}R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}\ }$

När man designar filtret så antar man lämpligtvis kondensatorerna och räknar sedan fram resistorerna.

Se även

• Tjebysjovfilter (allmännare förklaring)
• Besselfilter
• Bikvadratiskt filter

Källor

• Millman Jacob, Grabel Arvin, Microelectronics, Second Edition, 1988, Singapore
• Texas Instruments, Active Filter Design Techniques, Chapter 16.