Bryta ut en faktor

En bild som visar den distributiva egenskapen som används vid utbrytning.

Att bryta ut en faktor är att applicera den distributiva lagen för multiplikation "baklänges":

${\displaystyle a\cdot b+a\cdot c=a(b+c)}$

för att exempelvis lösa en ekvation.

Exempel

En lösning av den enkla ekvationen ${\displaystyle 2x+3x=1\ }$ kan gå till såhär:

${\displaystyle {\begin{aligned}2x+3x&=1\\(2+3)x&=1\\5x&=1\\x&={\frac {1}{5}}\\\end{aligned}}}$

När man utför den intuitiva förenklingen (första steget) ${\displaystyle 2x+3x=5x\ }$ bryter man egentligen ut x: ${\displaystyle 2x+3x=(2+3)x=5x\ }$

Denna insikt är bra att ha när man ska lösa mer komplicerade ekvationer, till exempel

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}x+{\sqrt {3}}x&=1\\({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})x&=1\\x&={\frac {1}{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}\\\end{aligned}}}$

Polynom

En vanligt förekommande faktorutbrytning förekommer i polynom. Säg att man ska lösa ekvationen

${\displaystyle x^{5}+4x^{4}-4x^{3}=0\,}$

då man först kan bryta ut faktorn ${\displaystyle x^{3}}$:

${\displaystyle x^{3}(x^{2}+4x-4)=0\,}$

och sedan dela upp det i två fall, antingen så är ${\displaystyle x^{3}=0}$ eller så är ${\displaystyle x^{2}+4x-4=0}$.

Det är svårare att se mer komplicerade fall när det gäller polynom, exempelvis att

${\displaystyle x^{3}-x-6=(x-2)(x^{2}-2x+3)\,.}$

Något som görs enklare av faktorsatsen och polynomdivision.