Brun–Titchmarshs sats

Inom analytisk talteori är Brun–Titchmarshs sats, uppkallad efter Viggo Brun och Edward Charles Titchmarsh, ett resultat om primtalens fördelning i aritmetiska följder. Satsen säger att om ${\displaystyle \pi (x;q,a)}$ är antalet primtal p lika med a modulo q med p ≤ x är

${\displaystyle \pi (x;q,a)\leq {2x \over \varphi (q)\log(x/q)}}$

för alla q < x. Resultatet bevisades sållmetoder av Montgomery och Vaughan; ett tidigare resultat av Brun och Titchmarsh innehöll den additionella faktorn ${\displaystyle 1+o(1)}$.

För små "q", mer specifikt om ${\displaystyle q\leq x^{9/20}}$, gäller även (Y. Motohashi, (1973)):

${\displaystyle \pi (x;q,a)\leq {(2+o(1))x \over \varphi (q)\ln(x/q^{3/8})}}$

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Brun–Titchmarsh theorem, 28 januari 2014.

Källor

• Motohashi, Yoichi (1983), Sieve Methods and Prime Number Theory, Tata IFR and Springer-Verlag, ISBN 3-540-12281-8 
• Hooley, Christopher (1976), Applications of sieve methods to the theory of numbers, Cambridge University Press, s. 10, ISBN 0-521-20915-3 
• Mikawa, H. (2001), ”Brun–Titchmarshs sats”, i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 
• Montgomery, H.L.; Vaughan, R.C. (1973), ”The large sieve”, Mathematika 20: 119–134