Brocards problem

Brocards problem går ut på att hitta naturliga tal n och m sådana att

n!+1=m²,

det vill säga att n-fakultet är ett mindre än en heltalskvadrat. Problemet formulerades av Henri Brocard i två artiklar från 1876 och 1885, och av Srinivasa Ramanujan 1913 (oberoende av Brocard).

Brown-tal

Talpar (n,m) som löser Brocards problem kallas Brown-tal (efter Kevin S. Brown)^[1]. Det finns endast tre kända par av Brown-tal:

(4,5), (5,11) och (7,71).

Paul Erdős förmodade att det inte finns fler lösningar. Datorberäkningar har visat att det inte finns fler lösningar för n upp till en miljard (Berndt och Galway, 2000).

Varianter av problemet

Dabrowski har bevisat att om abc-förmodan är sann, har ekvationen

n!+A=m²

endast ändligt många lösningar för ett givet heltal A – speciellt att det endast finns ändligt många par av Brown-tal.

Noter

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Brocard's problem, 22 februari 2009.

• Berndt, Bruce C.; Galway, William F. (2000), ”The Brocard–Ramanujan diophantine equation n! + 1 = m²”, The Ramanujan Journal 4: 41–42, http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/galway.pdf .

• Brocard, H. (1876), ”Question 166”, Nouv. Corres. Math. 2: 287 .

• Brocard, H. (1885), ”Question 1532”, Nouv. Ann. Math. 4: 391 .

• Dabrowski, A. (1996), ”On the Diophantine Equation x! + A = y²”, Nieuw Arch. Wisk. 14: 321–324 .

• Guy, R. K. (1994), ”D25: Equations Involving Factorial”, Unsolved Problems in Number Theory (2nd), New York: Springer-Verlag, s. 193–194 .

Externa länkar

• Brocard's Problem från MathWorld.
• Brown Numbers från MathWorld.