Borelmått

Ett Borelmått är inom matematik ett mått så att alla Borelmängder är mätbara, uppkallat efter franske matematikern Émile Borel.

Formell definition

Låt ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})\,}$ vara ett topologiskt rum och ${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$ en sigma-algebra i X. Då är ett mått

${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\rightarrow [0,\infty ]}$

Borel om alla Borelmängder är mätbara. Mer precist,

${\displaystyle {\mbox{Bor}}\,X:=\sigma ({\mathcal {T}})\subset {\mathcal {F}}.}$

Borel yttre mått

Låt ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})\,}$ vara ett topologiskt rum, då ett yttre mått ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$ är Borel om alla Borelmängder är ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$-mätbara:

${\displaystyle {\mbox{Bor}}\,X:=\sigma ({\mathcal {T}})\subset {\mathcal {M}}_{\mu ^{*}}(X).}$

Om X är ett metriskt rum så är ett yttre mått Borel om och endast om det är metriskt yttre mått.

Konstruktion för vissa Borel yttre mått

Huvudartikel: Carathéodorys konstruktion.

I ett metriskt rum kan man alltid konstruera ett naturligt Borel yttre mått med hjälp av den metriska strukturen. Den här konstruktionen är viktig eftersom vi kan konstruera den i alla metriska rum.

Exempel

Lebesguemåttet, Yttre Lebesguemåttet, Hausdorffmåttet och Yttre Hausdorfmåttet är Borel.

Se även

• Mått
• Yttre mått