Borel–Cantellis lemma

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2022-09) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Borel–Cantellis lemma är inom matematiken, specifikt inom sannolikhetsteorin och måtteori, ett antal resultat med vilka man kan undersöka om en följd av stokastiska variabler konvergerar eller ej.

Borel–Cantellis lemma

Om ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ är en följd av alltmer ovanliga händelser, kommer endast ändligt många av dem att inträffa:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }P(A_{n})<\infty ~\Rightarrow ~P\left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=0.}$

Beteckningen ${\displaystyle P(A_{n})}$ står för sannolikheten att händelsen ${\displaystyle A_{n}}$ skall inträffa.

Om ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ är en följd av vanligt förekommande oberoende händelser, så kommer oändligt många av dem att inträffa:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }P(A_{n})=\infty ~\Rightarrow ~P\left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=1.}$

En mer allmän form av det första av Borel–Cantellis lemma gäller godtyckliga måttrum: Om ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ är ett måttrum och ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ är en följd av element i sigma-algebran ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ så gäller

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})<\infty ~\Rightarrow ~\mu \left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=0;}$

måttet ${\displaystyle \mu }$ behöver inte vara ändligt.

Bevis för det första av Borel–Cantellis lemmata

Scenariot att oändligt många av händelserna ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ skall inträffa kan skrivas

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\underbrace {\left(\bigcup _{m=n}^{\infty }A_{m}\right)} _{=B_{n}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n}.}$

Händelserna ${\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\ldots }$ är mindre och mindre delar av varandra:

${\displaystyle B_{1}\supseteq B_{2}\supseteq B_{3}\supseteq \cdots ;}$

detta innebär dels att snittet av de ${\displaystyle N}$ stycken första händelserna är samma sak som händelsen ${\displaystyle B_{N}}$:

${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{N}B_{n}=B_{N}}$

och dels att sannolikheterna för att händelserna skall inträffa blir mindre och mindre:

${\displaystyle P(B_{1})\geq P(B_{2})\geq P(B_{3})\geq \cdots .}$

Villkoret

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }P(A_{n})<\infty }$

att summan av sannolikheterna för händelserna ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots ,}$ är ändlig innebär att sannolikheterna ${\displaystyle P(B_{N})}$ blir hur små som helst ju större talet N är:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }P(B_{N})=0.}$

Det faktum att ett sannolikhetsmått är ett ändligt mått låter oss dra slutsatsen att

${\displaystyle P(\lim _{N\to \infty }B_{N})=\lim _{N\to \infty }P(B_{N}).}$

Eftersom händelserna ${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots }$ är delar av varandra vet vi att

${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n}=\lim _{N\to \infty }B_{N}.}$

Därför kan vi säga att

${\displaystyle P(\limsup _{n\to \infty }A_{n})=P(\lim _{N\to \infty }B_{N})=\lim _{N\to \infty }P(B_{N})=0.}$

Koppling till konvergens av stokastiska variabler

En följd av stokastiska variabler ${\displaystyle \{X_{n}\}}$ konvergerar mot den stokastiska variabeln ${\displaystyle X}$ om 'avståndet' ${\displaystyle \vert X_{n}-X\vert }$ avtar mot noll då index ${\displaystyle n}$ växer. (Det finns många olika tolkningar av begreppet avstånd mellan stokastiska variabler.)

Låt ${\displaystyle A_{n}}$ vara händelsen att 'avståndet' mellan ${\displaystyle X_{n}}$ och ${\displaystyle X}$ är större än talet ${\displaystyle 1/n}$:

${\displaystyle A_{n}=\left\{\omega \in \Omega :\vert X_{n}(\omega )-X(\omega )\vert \geq 1/n\right\}.}$

Om dessa händelser successivt blir så ovanliga att deras sannolikheter avtar, så att ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }P(A_{n})<\infty ,}$ så säger Borel–Cantellis lemma att endast ändligt många av dem kommer att inträffa; Detta innebär att det finns ett ändligt (stokastiskt) index ${\displaystyle N}$ sådant att:

${\displaystyle \vert X_{n}-X\vert <1/n,\quad n>N.}$

Det går därför att få 'avståndet' mellan ${\displaystyle X_{n}}$ och ${\displaystyle X}$ hur litet som helst, så länge som man väljer index ${\displaystyle n}$ tillräckligt stort; Med andra ord konvergerar följden ${\displaystyle \{X_{n}\}}$ mot ${\displaystyle X}$.