Blockmatris

Inom matematiken är en blockmatris en uppdelning av en matris i mindre matriser. Den ursprungliga matrisen kan då skrivas som en samling mindre matriser. Uppdelningen av en matris i block måste vara konsistent, man kan se det som att man inför vertikala och horisontella linjer som går genom hela matrisen.

Exempel

Matrisen:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\4&4&5&5\\4&4&5&5\end{pmatrix}}}$

Kan delas upp i fyra 2x2-matriser:

${\displaystyle P_{11}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}},P_{12}={\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}},P_{21}={\begin{pmatrix}4&4\\4&4\end{pmatrix}},P_{22}={\begin{pmatrix}5&5\\5&5\end{pmatrix}}}$

Så att ${\displaystyle A}$ då kan skrivas:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}P_{11}&P_{12}\\P_{21}&P_{22}\end{pmatrix}}}$

Blockdiagonala matriser

En blockdiagonal matris är en kvadratisk matris som har kvadratiska matriser i diagonalen, men alla andra element är noll. Om ${\displaystyle A}$ är blockdiagonal kan den skrivas på formen:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{1}&0&\cdots &0\\0&A_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&A_{n}\end{pmatrix}}}$

Där ${\displaystyle A_{k}}$ är en kvadratisk matris. Matrisen ${\displaystyle A}$ kan då skrivas som en direkt summa, ${\displaystyle A=A_{1}\oplus A_{2}\oplus ...\oplus A_{n}}$. Det finns även samband för determinanten och spåret:

${\displaystyle \det {A}=\det {A_{1}}\det {A_{2}}...\det {A_{n}}\,}$

${\displaystyle \operatorname {tr} {A}=\operatorname {tr} {A_{1}}+\operatorname {tr} {A_{2}}+...+\operatorname {tr} {A_{n}}}$

Blockmatrismultiplikation

Given två blockmatriser matriserna ${\displaystyle A}$ och ${\displaystyle B}$ där ${\displaystyle A}$ har format ${\displaystyle m\times p}$ och ${\displaystyle B}$ har format ${\displaystyle p\times n}$, med blockindelning:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1s}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{q1}&A_{q2}&\cdots &A_{qs}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1r}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{s1}&B_{s2}&\cdots &B_{sr}\end{pmatrix}}}$

Dvs, ${\displaystyle A}$ har ${\displaystyle s}$ kolonnupdelningar och ${\displaystyle q}$ raduppdelningar. ${\displaystyle B}$ har ${\displaystyle r}$ kolonnupdelningar och ${\displaystyle s}$ raduppdelningar.

Man kan då räkna ut matrisprodukten ${\displaystyle C=AB}$ med format ${\displaystyle m\times n}$, med ${\displaystyle q}$ raduppdelningar och ${\displaystyle r}$ kolonnupdelningar med:

${\displaystyle C_{xy}=\sum _{k=1}^{s}A_{xk}B_{ky}}$

Linjär algebra Grundläggande begrepp Skalär · Vektor · Noll · Ortogonalitet · Ekvationssystem · Rum · Linjärkombination · Inre produkt · Oberoende · Bas · Radrum · Kolonnrum · Nollrum · Gram-Schimdt · Egenvärde · Hölje · Linjäritet Vektoralgebra Kryssprodukt · Trippelprodukt Matriser Elementär · Block · Enhet · Determinant · Norm · Rang · Transformation · Rotation · Invers · Cramers regel · Trappstegsform · Spår · Transponat · Gausselimination · Symmetri · Addition Multilinjär algebra Geometrisk algebra · Yttre algebra · Bivektor · Multivektor · Tensor Konstruktioner Delrum · Dualrum · Funktionsrum · Kvotrum · Tensorprodukt Numerik Flyttal · Gles matris Kategori