Bilinjär form

Inom linjär algebra sägs en avbildning i två variabler vara bilinjär om den är linjär i varje variabel var för sig.

Definition

En avbildning

${\displaystyle f:V\times W\rightarrow U}$

där U, V, W är vektorrum över en kropp K, sägs vara bilinjär om

${\displaystyle f(v+v',w)=f(v,w)+f(v',w)\,}$

${\displaystyle f(av,w)=af(v,w)\,}$

${\displaystyle f(v,w+w')=f(v,w)+f(v,w')\,}$

${\displaystyle f(v,aw)=af(v,w)\,}$

för alla

${\displaystyle v,v'\in V,w,w'\in W}$

och

${\displaystyle a\in K}$.

Exempel

• Matrismultiplikation är en bilinjär avbildning

${\displaystyle M(m,n)\times M(n,k)\rightarrow M(m,k)}$

• Kryssprodukten är en bilinjär avbildning

${\displaystyle R^{3}\times R^{3}\rightarrow R^{3}}$.

• Applikationsoperatorn som till ett element

${\displaystyle V\times V^{*}\ni (v,v^{*})\mapsto v^{*}(v)}$ är bilinjär.

• Kovarians (sannolikhetsteori) är bilinjär

Egenskaper

De bilinjära avbildningarna utgör ett linjärt delrum till rummet av linjära avbildningar ${\displaystyle V\times W\rightarrow U}$

Tensorprodukter används för att klassificera bilinjära avbildningar; närmare bestämt, det finns en kanonisk avbildning

${\displaystyle t:U\times V\rightarrow U\otimes V}$

så att för varje bilinjär avbildning

${\displaystyle b:U\times V\rightarrow W}$

så finns en unik avbildning

${\displaystyle e:U\otimes V\rightarrow W}$

så att ${\displaystyle b=t\circ e}$