Betingad konvergens

I matematiken sägs en serie ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ vara betingat konvergent om den är konvergent, det vill säga gränsvärdet ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=0}^{n}a_{i}}$ existerar, men att serien inte är absolutkonvergent, det vill säga att ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=0}^{n}|a_{i}|}$ inte existerar.^[1]:65

Exempel

Serien ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}}$ är betingat konvergent.

Mer allmänt säger Leibniz kriterium att om ${\displaystyle \,a_{i}}$ är en strängt avtagande följd av positiva reella tal, som konvergerar mot noll, så är serien ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{i}}$ konvergent. En sådan serie är emellertid i allmänhet inte absolutkonvergent.

Riemanns omordningssats

En grundläggande sats i matematisk analys säger att gränsvärdet för en absolutkonvergent serie inte ändras om man ändrar ordningen på termerna i serien. För betingat konvergenta serier är situationen den motsatta:

Sats:

Låt ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ vara betingat konvergent, och låt ${\displaystyle \,\alpha }$ vara ett reellt tal eller ${\displaystyle \pm \infty }$. Då finns en permutation ${\displaystyle \,\sigma }$ av de naturliga talen sådan att serien ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{\sigma i}}$ konvergerar mot ${\displaystyle \,\alpha }$.

En betingat konvergent serie kan alltså genom en omordning av termerna fås att konvergera mot vilket reellt tal som helst och t.o.m. divergera. Beviset för detta går i korthet ut på att delsummorna till en betingat konvergent serie, bestående av enbart positiva respektive negativa termer, går mot ${\displaystyle \infty }$ respektive ${\displaystyle -\infty }$. Om man vill få summan att gå mot ett givet tal ${\displaystyle \,\alpha }$, som vi kan låta vara större än noll, ser man till att först ta med så många positiva termer att summan överskrider ${\displaystyle \,\alpha }$, därefter så många negativa att summan blir mindre än ${\displaystyle \,\alpha }$ och så vidare. Eftersom termerna går mot noll kommer summan att gå mot ${\displaystyle \,\alpha }$. Om man vill att serien ska divergera (mot ${\displaystyle \infty }$) ser man till att de negativa termerna ligger så pass glest att delsummorna växer utan gräns. Motsvarande resonemang gäller för negativa ${\displaystyle \,\alpha }$ och ${\displaystyle -\infty }$.^[1]:73-74

Källor