Bernsteinpolynom

Ett Bernsteinpolynom är ett polynom och definieras som

${\displaystyle B_{k}^{n}(t)={n \choose k}t^{k}(1-t)^{n-k}}$

Parametern t hålls inom intervallet [0, 1] och polynomet kommer att ha ett maximum då t = k / n.

Bernsteinpolynom används exempelvis vid konstruktion av Bezierkurvor.

Exempel

Nedan är de första Bernsteinpolynomen:

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1,\\b_{0,1}(x)&=1-x,&b_{1,1}(x)&=x\\b_{0,2}(x)&=(1-x)^{2},&b_{1,2}(x)&=2x(1-x),&b_{2,2}(x)&=x^{2}\\b_{0,3}(x)&=(1-x)^{3},&b_{1,3}(x)&=3x(1-x)^{2},&b_{2,3}(x)&=3x^{2}(1-x),&b_{3,3}(x)&=x^{3}\\b_{0,4}(x)&=(1-x)^{4},&b_{1,4}(x)&=4x(1-x)^{3},&b_{2,4}(x)&=6x^{2}(1-x)^{2},&b_{3,4}(x)&=4x^{3}(1-x),&b_{4,4}(x)&=x^{4}\end{aligned}}}$

I grafen nedan är ${\displaystyle B_{k}^{5}(t)}$ utritad för olika värden på k.

Egenskaper

En viktig egenskap hos Bernsteinpolynomen är att

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}B_{k}^{n}(t)=1,}$

för alla t, vilket gör att man kan addera punkter med hjälp av Bernsteinpolynom.

Bernsteinpolynomen har följande derivata:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}B_{k}^{n}(t)=n\left(B_{k-1}^{n-1}(t)-B_{k}^{n-1}(t)\right)}$.

Referenser

• Råde, Lennart; Bertil Westergren (2004). Mathematics Handbook BETA. Studentlitteratur. sid. 404. ISBN 91-44-03109-2